第一章单元自测题答案
一、填空题
231．x； 2．?1； 3．e?6； 4．
3； 5．?2； 6．???,???.
二、选择题
1．A； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．C.
三、计算下列各题
1．解 由y?exex?1可得 y(ex?1)?ex
即 ex(1?y)?y 于是有 x?lny1?y 改变变量的记号，即得所求反函数为
y?lnx1?x，定义域D??0,1?.
2．解 lim2n??n?n?1?n?1??lim2nn??n?1?n?1?limn???11?1n?1?1n3．解 因为
1?2???n12n1?n2?n?n2?1?n2?2???n2?n?2???nn2?1，
n(1?n)又 lim1?2???n211?2???n1n??n2?n?limn??n2?n=2，limn??n2?1=2 根据夹逼定理得，原式=12．
4．解 lim?x?1?1?x?1?3?x2?x?2(x?1)(x?2)x3?1???limx?1x3?1?limx?1(x?1)(x2?x?1)?1． x(1?2a5．解 因为 lim?)xx???x?2a??x?a???limxe2ax???3a(1?a)xe?a?e?8， x于是有 3a?ln8?3ln2，即得a?ln2．
1
6．解 lim1?3tan2xx?0??1x2?limeln?1?3tanx??lime21x2ln1?3tan2xx2??,
x?0x?0因为当x?0时，ln(1?3tan2x)~3tan2x~3x2，于是有
ln(1?3tanx)3xlim?lim?3，从而lim1?3tan2x22x?0x?0xx?0x22??1x2ln1?3tan2x???e3．
?limex?0x27．解：函数在x?0,x?1,x??1处没有定义，因此x?0,x?1,x??1是间断点， 因为lim?x?0x?x?1?x2x2?1??=lim?x?0x?x?1?1?lim??， 22?x?0??xx?1xx?1??所以x?0为第二类间断点； 因为limx?1x?x?1?x2x2?1??=limx?1xx2?x?1?=
1，所以x?1为第一类间断点； 2因为lim
x?x?1?2x??1
xx?1?2???，所以x??1为第二类间断点.
四、证明题
证明 令F?x??f?x??x，由于f?x?在?a,b?上连续，根据连续函数的四则运算性质可知，F(x)在?a,b?上连续.且由于a?f?x??b可知，
F?a??f?x??a?0，F?b??f?b??b?0， 从而根据零点定理，至少存在一点???a,b?，使得F????0,即f?????.
第二章单元自测题答案
一 判断题
1．正确的。由可导能推出连续。
2．错误的。f(x)?x,在x=0处连续但不可导。 3. 正确的。可导能推出连续从而极限存在。
4. 错误的。f(x)?x,在x=0处limf(x)存在但不可导。
x?05．错误的。 f(x)?x,在x=0处连续但不可导。 6．正确的。 反证法。如果可导一定连续。
二 选择题 1．（C），
2
f(x0)?f(x0?2h)f(x0?2h)?f(x0)t?2hf(x0?t)?f(x0)lim?2lim?2lim h?0h?0t?0h2ht3从而由定义得，2f?(x0)??3，即f?(x0)??。
2f(2x)f(2x)?f(0)?2lim?2f?(0)?2，从而f?(0)?1。 2．（A），limx?0x?0x2x?03．（B），由于fx()在x0?处可导，从而f(x)在x?0处连续。
那么limf(x)?limasinx?0?f(0)?lnb，从而b?1。则f(0)?0。这样就有 x?0-x?0-f??(0)?limasinx?0x?0?x?0?a，而且f(0)?xlimln(1?x)?0???0?x?0?1，所以a?1。 4．（D），limx?0f(x)?limx?0x?(x)?0?f(0)，从而连续。而且
f?x?(x)??(0)?limx?0?x??limx?0??(x)???(0)=0，而f??(0)??(0)=0。所以可导。
三 计算题
1．解 当x?0时，f?(x)?(exsinx)??exsinx?excosx?ex(sinx?cosx)。 同理，当x?0时，f?(x)?2x?1。当x?0时，
fx2?x?0??(x)?limx?0?x?limx?0?x?1?1， fexsinx?0??(x)?limx?0?x?limx?0?exlimsinxx?0?x?1。 从而f?(0)?1。即
f(x)???ex(sinx?cosx),x?0?2x?1,x?0。
2．解 利用连锁规则
y??(xarcsinx2?tan3(2x?1))?
?(xarcsinx2)??(tan3(2x?1))?
?arcsinx?x11222?3tan(2x?1)(tan(2x?1))? 1?(x)22 3
?arcsinx?x112x2?3tan2(2x?1)sec2(2x?1)2 1?(2)2 ?arcsinx2?x4?x2?6tan2(2x?1)sec2(2x?1)。
3．解 利用连锁规则 y??2f(x2)(f(x2))? ?2f(x2)f?(x2)2x ?4xf(x2)f?(x2)。 4．解 取对数
lny?xln(1?x2) 再对方程两端关于x求导，
1yy??ln(1?x2)?x11?x2(2x) y??(1?x2)x[ln(1?x2)?2x21?x2]。 5． 解 取对数
lny?12ln(x?5)?16ln(x2?2)
再对方程两端关于x求导，
1 yy??12(x?5)?16(x2?2)(2x)y??x?51x
3x2?2[2(x?5)?3(x2?2)]
6． 解 先求一阶导数
y??2xlnx?x?2sin2x?cos2x?2 ?2xlnx?x?2sin4x， 再求二阶导数
y???2lnx?2?1?2cos4x?4 ?2lnx?3?8cos4x。
4
7． 解 对方程两端取微分 eydy?dy?dx 从而 dy11dx?ey?1?x?y?1， 再求导，得
d2y1?y?x?ydx2??(x?y?1)2??(x?y?1)3。 8． 解 先求微分，得
dy?(et ?tet)dtdx?(2t?2)dt
从而有
dy(et?tet)dtet?tetet dx?(2t?2)dt?2t?2?2。
再求出二阶导数
d(dy d2ydx)1et1etdx2?dt?dx?2?2t?2?4(t?1)。dt 9． 解 利用形式不变性
（1） dy?1x2?1d(x2?1)
?11x2?1?2x2?1?2xdx
?xx2?1dx。
（2） dy??sin2x?2dx?1x21?(ex2)2d(e)
??2sin2xdx?11?e2x2ex2?2xdx
?(2xex21?e2x2?2sin2x)dx。
5
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