高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教学案（含
解析）理
第六节 双曲线
[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2y2a2－2＝1(a＞0，b＞0) by2x2a2－2＝1(a＞0，b＞0) b图形 范围 对称性 顶点坐标 渐近线 性质 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a线段实A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2虚轴 叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 3.等轴双曲线 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2. [常用结论]
三种常见双曲线方程的设法
(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax＋By＝1(AB<0)． (2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为bx－ay＝λ(λ≠0)．
22
22
2
2
x2y2x2y2
(3)与双曲线2－2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0)．
abab2b(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为.
2
a[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．
( )
x2y2
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． ( )
mnx2y2x2y2xy(3)双曲线2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即±＝0.
mnmnmn
( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．双曲线－＝1的焦距为( ) 32A．5 B.5
C．25
2
x2y2
D．1
C [由双曲线－＝1，易知c＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线－＝1的焦距
3232为25.]
x2y2x2y2
x2y2
3．(教材题改编)已知双曲线2－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
a3
A．2 B.
6 2
C.5
D．1 2
ca2＋322
D [依题意，e＝＝＝2，∴a＋3＝2a，则a＝1，a＝1.]
aa
4．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，
1620则|PF2|＝________.
17 [由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]
x2y2
x2y2
5．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2xab＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．
b1＝，?a2?x－y＝1 [由题意可得?4a＋b＝5，
??a＞0，b＞0，
2
2
2
2
解得a＝2，则b＝1，
所以双曲线的方程为－y＝1.] 4
x2
2
双曲线的定义及应用 1. 已知F1，F2为双曲线C：x－y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2
＝( )
13A. B. 45
34
C. D.
45
22C [∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，∴|PF1|＝2|PF2|＝42，则|PF1|＋|PF2|－|F1F2|
cos∠F1PF2＝
2|PF1|·|PF2|
＝
42
22
2
2
＋22
2
－4
2
2×42×22
3
＝.选C.] 4
2．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋
412|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
x2y2
B [由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，
412则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋
4－1
2
x2y2
＋0－4
2
＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．]
[规律方法] 双曲线定义的两个应用 一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系. 双曲线的标准方程 【例1】 设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐
2736标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．
x2y2y2x2
y2x2
－＝1 [法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为2－2＝1(a>0，452736ab15－0
2
x2y2
b>0)，根据双曲线的定义知2a＝|
4，故a＝2.
＋4－3
2
－15－0
2
＋4＋3
2
|＝
又b＝3－2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
45
222
y2x2
y2x2
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
2736ab则a＋b＝9，①
又点(15，4)在双曲线上，所以
2
2
2
2
x2y2
1615
2－2＝1，②
ab联立①②解得a＝4，b＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
45法三：设双曲线的方程为故
＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，27－λ36－λy2x2
x2y2
1516
＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0， 27－λ36－λ经检验λ1＝32，λ2＝0都是方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32. 故所求双曲线的标准方程为－＝1.]
45[规律方法] 求双曲线标准方程的一般方法 1待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方y2x2
程并求出a，b，c的值.与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 2定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值. x2y2 (1)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐
ab
近线与圆(x－2)＋y＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 913C.－y＝1 3
22
x2x2
y2
B.
x2
13
－＝1 9
2
y2
2
D．x－＝1
3
2
y2
(2)(2019·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 927C.
－＝1 1224
x2y2
B.－＝1 927D.
－＝1 2412
y2x2
y2x2y2x2
(1)D (2)B [(1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x－2)＋y＝3相切，所以
2
2
2
2
2
ba|2b|
a2＋b2
2
＝3，由双曲线的一个焦点为F(2,0)可得
2
a＋b＝4，所以|b|＝3，即b＝3，所以a＝1，故双曲线的方程为x－＝1.
3
(2)∵x＝24y，∴焦点为(0,6)，
2
y2
y2x2
∴可设双曲线的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．
ab∵渐近线方程为y＝±x， 其中一条渐近线的倾斜角为30°， ∴＝
abab322
，c＝6，∴a＝9，b＝27. 3
其方程为－＝1.]
927
双曲线的几何性质 ?考法1 求双曲线的离心率的值(或范围) y2x2
x22
【例2】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( )
aA．(2，＋∞) C．(1，2)
B．(2，2) D．(1,2)
x2y2
(2)(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是
ab坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为( )
A.5 B．2
C.3 D.2
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教学案(含解析)理
