辅导专用
1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，0)，B(?2，0)，E(0，8)． （1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形
MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位
的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点A(?点B(?点E(40，)，20，)，08，)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，
F(0，?8)．
设抛物线C2的解析式是
y?ax2?bx?c(a?0)，
?16a?4b?c?0，?则?4a?2b?c?0， ?c??8．?，?a??1?解得?b?6，
?c??8．?所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8． （2）由（1）可计算得点M(?3，?1)，N(31)，．
过点N作NH?AD，垂足为H．
当运动到时刻t时，AD?2OD?8?2t，NH?1?2t．
根据中心对称的性质OA?OD，OM?ON，所以四边形MDNA是平行四边形．
2辅导专用
所以S?2S△ADN．
所以，四边形MDNA的面积S?(8?2t)(1?2t)??4t2?14t?8． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t?4．
所以，所求关系式是S??4t2?14t?8，t的取值范围是0≤t?4． （3）S??4?t?所以t???7?81（0≤t?4）． ??，
4?4781时，S有最大值． 44提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD?MN时四边形
MDNA是矩形．
所以OD?ON．所以OD2?ON2?OH2?NH2．
所以t2?4t2?2?0．解之得t1?6?2． ，t2??6?2（舍）所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
32x?bx?c与坐标轴交于A，B，C三点，43点A的横坐标为?1，过点C(0，点P是线段BC上3)的直线y??x?3与x轴交于点Q，
4t的一个动点，PH?OB于点H．若PB?5t，且0?t?1．
2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y??（1）确定b，c的值：b?_____，c?_____；
（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：
B(___，___)，Q(___，___)，P(___，___)；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
[解] （1）b?y9 4C P A O Q HB x c?3 （2）B(4，0)
辅导专用
Q(4t，0) P(4?4t，3t)
（3）存在t的值，有以下三种情况 ①当PQ?PB时
?PH?OB，则GH?HB ?4?4t?4t?4t ?t?1 3 ②当PB?QB时 得4?4t?5t ?t?4 9 ③当PQ?QB时，如图
解法一：过Q作QD?BP，又PQ?QB
BP5?t 则BD?22 又△BDQ∽△BOC
C P D
BDBQ? ? BOBC5t4?4t ?2?
4532 ?t?
57解法二：作Rt△OBC斜边中线OE
BC5?， 则OE?BE，BE?22O Q
B
此时△OEB∽△PQB
C P BEOB? ? BQPBE 54 ?2?
4?4t5t32 ?t?
57O Q
B
辅导专用
解法三：在Rt△PHQ中有QH2?PH2?PQ2 C ?(8t?4)2?(3t)2?(4?4t)2 ?57t2?32t?0 ?t?P O H32，t?0（舍去） 57 又?0?t?1
1432 ?当t?或或时，△PQB为等腰三角形．
3957Q B
解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有
时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析
Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直
接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的0?t?1矛盾，应舍去
4.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为?010，?，，?84?，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E?4，0?出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ?90的点P有 个．
??b4ac?b2?（抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是??，?．
2a4a??2
辅导专用
yD s 28 C A P B 20 O E Q x O 10图②
t 图①
[解] （1）作BF?y轴于F．
?A?010，?，B?8，4?，
?FB?8，FA?6． ?AB?10．
（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．
又?AB?10，10?10?1． ?P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG?y轴于G，则PG∥BF．
?GAFA?APGAAB，即6?t10． ?GA?35t．
?OG?10?35t．
?OQ?4?t，
?S?12?OQ?OG?12?t?4????10?3?5t??．
即S??310t2?195t?20． 19??b192a??5?19，且0≤2???3?33≤10， ??10???当t?193时，S有最大值． 此时GP?4765t?15，OG?10?3315t?5， 辅导专用
?7631??点P的坐标为?，?．
?155?方法二：当t?5时，OG?7，OQ?9，S?设所求函数关系式为S?at2?bt?20．
（8分）
163OG?OQ?． 22?63?28?，?抛物线过点?10，?5，?，
?2??100a?10b?20?28，???63
25a?5b?20?.??23?a??，??10?? ?b?19.?5??S??3219t?t?20． 1051919b195?????，且0≤≤10， 32a?3?32?????10??当t?19时，S有最大值． 37631，OG?， 此时GP?155?7631??点P的坐标为?，?．
?155?（4）2．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
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2016最新二次函数动点问题（含答案）
