§3.4 向量组的秩
L/O/G/O 在讨论向量组的线性组合和线性相关性时? 矩阵的秩起了十分重要的作用?
为使讨论进一步深入? 下面把秩的概念引进向量组?
一、极大无关组与向量组的秩的概念二、极大无关组与向量组的秩的求法三、改用向量组的秩陈述的几个定理
一、极大无关组与向量组的秩的概念 定义：若在向量组A中能选出r个向量a1? a2? ???? ar? 满足 (1)向量组A0? a1? a2? ???? ar线性无关?
(2)向量组A中任意r?1个向量(若有的话)都线性相关? 那么向量组A0称为向量组A的一个极大线性无关向量组，简称极大无关组?
极大无关组所含向量的个数 r ，称为向量组A的秩? 记作rA?注?
①极大无关组,也称为最大无关组?
②只含零向量的向量组没有极大无关组? 规定它的秩为0?
一、极大无关组与向量组的秩的概念 定义：若在向量组A中能选出r个向量a1? a2? ???? ar? 满足 (1)向量组A0? a1? a2? ???? ar线性无关?
(2)向量组A中任意r?1个向量(若有的话)都线性相关? 那么向量组A0称为向量组A的一个极大线性无关向量组，简称极大无关组?
极大无关组所含向量的个数 r ，称为向量组A的秩? 记作rA?注? ③ 向量组的极大无关组一般不是唯一的?
例如 已知 a1?(1? 1? 1)T? a2?(0? 2? 5)T? a3?(2? 4? 7)T? 因为a1? a2 与a2? a3都是线性无关组? 而a1? a2? a3线性相关? 所以a1? a2和a2? a3都是向量组a1? a2? a3的极大无关组?
例3.4.1 全体n维向量构成的向量组 ，记作Rn ，求Rn的一个极大无关组及Rn的秩?
解 我们知道n维单位坐标向量构成的向量组E? e1? e2? ???? en是线性无关的?又知Rn中的任意n?1个向量都线性相关? 因此? 向量组E是Rn的一个极大无关组? 且Rn的秩等于n? 显然? Rn的极大无关组很多? 任何n个线性无关的n维向量都是Rn的极大无关组?
极大无关组的定义：
若在向量组A中能选出r个向量a1? a2? ???? ar? 满足 (1)向量组A0? a1? a2? ???? ar线性无关?
(2)向量组A中任意r?1个向量(若有的话)都线性相关? 那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关组?v定理3.4.1(极大无关组的等价定义)
若在向量组A中能选出r个向量a1? a2? ???? ar? 满足 (1)向量组A0? a1? a2? ???? ar线性无关?
(2)向量组A中任一向量都能由向量组A0线性表示? 那么向量组A0便是向量组A的一个极大无关组?
推论 向量组与它的极大无关组等价?
3.4 向量组的秩+3.5向量空间A - 图文
