式中v?v(2)?v(1). 式（3）和式（4）给出二级相变点压强随温度变化的斜率，称为爱伦费斯特方程.
3.17 试根据朗道自由能式（3.9.1）导出单轴铁磁体的熵函数在无序相和有序相的表达式，并证明熵函数在临界点是连续的。
3.18 承前2.18题。假设外磁场十分微弱，朗道自由能式（3.9.11）近似适用，试导出无序相和有序相的CH?CM.
补充题1 试由内能判据导出平衡稳定性条件
??V?Cp?0,???0.
??p?S 解: 习题3.3根据平衡稳定性条件
证明了
??V?Cp?0,???0. （2） ?p??S??V?CV?0,???0. （1） ?p??T式（2）也是一个平衡稳定性条件，本题从内能判据直接证明（2）式. 内能判据为，在S,V不变的情形下，稳定平衡态的U最小. 将内能判据用于由子系统和媒质构成的系统，在系统的熵S和体积V保持不变的条件下，它的稳定平衡状态满足
δU?0,δU?0.2
内能、熵和体积具有相加性，故
U?U?U0,
S?S?S0, （3） V?V?V0.我们用不带下标的量表示子系统的热力学量，用带有下标“0”的量表示媒质的热力学量. 在S,V不变的条件下发生虚变动时必有
δS?δS0?0,δV?δV0?0. （4）
根据热力学基本方程，有
δU?TδS?pδV,δU0?T0δS0?p0δV0. （5）
内能为极值要求系统的内能在虚变动中的改变满足
δU?δU?δU0??T?T0?δS??p?p0?δV
?0. （6）
由于在虚变动中δS和δV可以独立地改变，δU?0要求
T?T0,p?p0. （7）
上式意味着，子系统与媒质具有相同的压强和温度. 内能U为极小要求
δ2U?δ2U?δ2U0?0. （8）
0由于媒质比子系统大得多?CV??CV,V0??V?，当发生虚变动使子系统的熵和体积有δ2S和δV的改变时，有
δ2U0?δ2U.
因此可以忽略δ2U0，而将式（8）近似为
δ2U?δ2U?0. （9）
由泰勒展开公式可以得到期
?2U?2U?2U22δU?2?δS??2δSδV?δV???S?S?V?V2
????U????U??????δS???δV?δS??V??S????S??S?2
????U????U??δS???δV?δV. （10） ??S??V??V??V?????但由热力学基本方程
dU?TdS?pdV,
有
??U????T,??S?V
??U?????p,?V??S代入式（10），内能为极小要求
???T?????p????T???p?δ2U???δS?δVδS?δS?δV??????????δV
??V?S??V?S???S?V????S?V??δTδS?δpδV ?0. 如果以S,p为自变量，利用
δT????T???S??δS????T??p??δpp?S?T??T?
CδS???δp,p??p?SδV????V?????S??δS??V??δpp??p?S
????T???V???p??δS????δp,S??pS代入式（11）可得
δ2U?T2??V?2C?δS???p???δp??0. p??SδS,δp是独立变量，式（12）要求
C?0,???V?p??p???0. S式（13）是平衡的稳定性条件.
补充题2 试由补充题1式（11）
δTδS?δpδV?0
导出平衡稳定性条件
CpT?δT?2?2???V???T??δTδp????V???δp?2?0. p??p?T解： 补充题1式（11）已给出 δTδS?δpδV?0. 11）12）13） （
（ （
（1）
以T,p为自变量，有
??S???S?δS??δT???δp???T?p??p?T?Cp??V?δT???δp,T??T?p
??V???V?δV??δT???δp,??T?p??p??T代入式（1），即有
补充题3 试验证临界指数?,?,?,?的实验值满足下面的标度律：
??2????2 （劳氏标度律） CpT?δT?2??V?2??V??2?δTδp?δp?0. （2） ??????T?p??p??T??????1? （韦氏标度律）
解：下表列出临界指数的一些实验值，可验证之.
表 临界指数的实验值
临界
指数
磁性系统
0.0-0.2 1.2-1.4 1.0-1.2 4.2-4.8
液气系统 二元液体 二元合金 铁电系统
He4超流体
-0.026 - - - inaccessible inaccessible inaccessible
平均场 结果
0 1/2 1 1 3
?,???? ???? ?0.1-0.2 1.2-1.3 1.1-1.2 4.6-5.0
0.05-0.15 0.30-0.34 1.2-1.4 - - - 4.0-5.0
- - - 0.305±0.005 1.24±0.015 1.23±0.025
- - -
- - - 0.33-0.34 1.0±0.2 1.23±0.02 - - -
0.30-0.36 0.32-0.35
0.62-0.68 0.03-0.15
- - - - - -
- - - - - -
0.65±0.02 0.03-0.06
0.5-0.8 - - -
0.675 - - -
1/2 0
补充题4 试验证，朗道理论得到的?,?,?,?满足劳氏和韦氏标度律.
解：上表也列出临界指数的一些平均场理论（朗道理论）的结果. 可自行验证. 表取自R. K. Pathria. Statistical Mechanics. 2nd edition. 1996.336. 关于标度律，请参看《量子统计物理学》（北京大学物理系）
§7.4.
热力学与统计物理答案第三章.
