辽宁省凌源市联合校2024-2024学年高二数学上学期期中试题（含解
析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 直线x+y-6=0的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 2. 直线l：2x+3y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. 6 B. 1 C. D. 3 3. 已知直线mx-y-2=0与直线x+ny+3=0垂直，则m，n的关系为（ ）
A. B. C. D.
2
4. 已知直线l1：ax+2y+8=0与l2：x+（a-1）y+a-1=0平行，则实数a的取值是（ ）
A. 或2 B. C. 0或1 D. 2
5. 已知直线l：2mx+y-m-1=0与圆C：x2+（y-2）2=4交于A，B两点，则当弦AB最短时直
线l的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线y2=4x的一条焦点弦为AB，若|AB|=8，则AB的中点到直线x=-2的距离是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（ ）
A. B. C. D. 8. 方程mx2+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 双曲线（a＞0，b＞0）经过点（，2），且离心率为3，则它的虚轴长是（ ）
A. B. C. 2 D. 4 10. 已知直线，则之间的距离为（ ）
A. B. C. 7 D.
2
11. 抛物线x=8y的焦点F的坐标是（ ）
A. B. C. D.
12. △ABC的两个顶点为A（-4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2
13. 已知集合M={y|y=x，x∈R}，，则M∩N=______
14. 如果双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则实数m=______． 15. 若实数x、y满足（x-2）2+y2=3，则的最大值为______．
16. 设双曲线的离心率为e，其渐近线与圆M：（x-2）2+y2=e2相切，则m=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知直线l方程为（m+2）x﹣（m+1）y﹣3m﹣7＝0，m∈R．
（Ⅰ）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标； （Ⅱ）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
18. 已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线1与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值． 19. 已知圆C：
求圆C关于直线对称的圆D的标准方程；
过点的直线l被圆C截得的弦长为8,求直线l的方程；
当k取何值时,直线与圆C相交的弦长最短,并求出最短弦长．
20. 求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1），焦点在x轴上的椭圆；
（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x-y+2=0上抛物线的方程． 21. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率e=，过右焦点F的直线l交椭圆于P、
Q两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积．
2
22. 已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，
B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为4． （1）求抛物线C的标准方程；
（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG?HE为定值，并求出定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线x+y-6=0的斜率k=-， 设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan， ∴．
即直线x+y-6=0的倾斜角为． 故选：C．
由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线的倾斜角． 本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题． 2.【答案】D
【解析】解：直线l：2x+3y-6=0与x，y轴的交点为（3，0），（0，2）， 则围成的三角形的面积为×3×2=3． 故选：D．
求得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得所求．
本题考查直线方程的运用，考查三角形的面积求法，化简运算能力，属于基础题． 3.【答案】C
【解析】解：根据题意，直线mx-y-2=0与直线x+ny+3=0垂直， 则有m×1+（-1）×n=0，即m-n=0； 故选：C．
根据题意，由直线的一般式方程判定直线垂直的方法可得m×1+（-1）×n=0，变形即可得答案．
本题考查直线的一般式方程以及直线与直线垂直的判定，属于基础题． 4.【答案】A
2
【解析】解：∵直线l1：ax+2y+8=0与l2：x+（a-1）y+a-1=0平行， ∴，
解得a=2或a=-1，
∴实数a的取值是-1或2． 故选：A．
利用直线与直线平行的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】A
【解析】解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r=2； 已知直线l：2mx+y-m-1=0恒过点P（）；
∴当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短， 此时，则； 此时-2m=?m=；
此时直线AB的方程为-，变形可得2x-4y+3=0． 故选：A．
根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析可得当CP与AB垂直时，弦长|AB|最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长问题，属于基础题． 6.【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1， A，B在准线上的射影为M，N，可得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|， 即有|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|，
设AB的中点为P，P到准线的距离为（|AM|+|BN|）=|AB|=4， 则AB的中点到直线x=-2的距离是4+1=5， 故选：B．
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，以及梯形的中位线定理，即可得到所求距离．
本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查梯形的中位线定理，考查运算能力，属于基础题． 7.【答案】B
【解析】解：设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切， 设直线方程为y=x+a，圆心（0，0）到直线的距离等于半径， ∴，
∴a的值为±2， 故选：B．
先求出过点（0，a），其斜率为1的直线方程，利用相切（圆心到直线的距离等于半径）求出a即可．
本题考查圆的切线方程，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，是基础题． 8.【答案】A
222
【解析】解：根据题意，方程mx+y=1即+y=1，若其表示焦点在y轴上的椭圆， 必有1＞＞0，
解可得：m＞1，即m的取值范围为（1，+∞）； 故选：A．
222
根据题意，将方程mx+y=1变形可得+y=1，由椭圆标准方程的形式分析可得1＞＞0，解可得m的取值范围，即可得答案．
本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆的标准方程的形式，属于基础题． 9.【答案】B
【解析】解：根据题意，双曲线（a＞0，b＞0）经过点（，2），则有-=1，①；
222
又由双曲线的离心率的e=3，则有e==1+=9，变形可得b=8a，②； 解可得：b2=20，即b=2； 则它的虚轴长2b=4； 故选：B．
根据题意，将点（，2）代入双曲线方程可得-=1，结合双曲线的性质可得e2==1+=9，变形可得b2=8a2，联立两式分析解可得b的值，据此分析可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题． 10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平行线间的距离计算，属于基础题．
根据题意，将l1的方程变形可得6x+8y-24=0，由平行线间距离公式计算可得答案． 【解答】
解：根据题意，直线l1：3x+4y-12=0，即6x+8y-24=0， 又由l2：6x+8y+11=0，
则l1与l2之间的距离d===； 故选D．
11.【答案】A
【解析】解：由抛物线x2=8y，得2p=8，∴p=4，
∴抛物线x2=8y的焦点F的坐标是（0，）=（0，2）． 故选：A．
直接由抛物线方程求得p值，则焦点坐标可求．
本题考查抛物线的标准方程，考查了由抛物线方程求焦点坐标，是基础题． 12.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的两顶点A（-4，0），B（4，0），周长为18， ∴AB=8，BC+AC=10，
∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值， ∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， ∴2a=10，2c=8，∴b=3，
∴椭圆的标准方程是=1（y≠0）． 故选：A．
根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 本题考查轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用是关键． 13.【答案】[0，+∞）
【解析】解：∵M={y|y≥0}，N=R， ∴M∩N=[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）．
可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题． 14.【答案】-4
【解析】解：由题意，双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则-m-3m=16， ∴m=-4．
故答案为：-4．
将双曲线的标准方程，焦点在y轴上，焦距为8，列出方程，即可得到结论． 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题． 15.【答案】
【解析】解：=，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率， 因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率． 设=k，则kx-y=0．由=，得k=±， 故（）max=，（）min=-． 故答案为：
利用的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，可得最大值． 本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查计算能力，是基础题． 16.【答案】-2
【解析】解：双曲线C的渐近线方程为x±y=0． ∵双曲线C的渐近线与圆M：（x-2）2+y2=e2相切， ∴=e=， ∴m=-2． 故选：A．
2
根据双曲线C的渐近线与圆M：（x-2）+y2=e2相切，利用点到直线的距离公式即可得到d=r，解出即可．
本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题． 17.【答案】解：（Ⅰ）直线l方程为（m+2）x-（m+1）y-3m-7=0，m∈R，即m（x-y-3）+2x-y-7=0， 令x-y-3=0，可得2x-y-7=0，联立方程组求得，可得直线l恒过定点P（4，1）． （Ⅱ）若直线l在x轴，y轴上的截距相等， 令x=0，求得y=-；令y=0，求得， ∴-=，求得m=-，
∴直线l方程为x+y-=0，即x +y-5=0．
【解析】（Ⅰ）先分离参数，再令参数的系数等于0，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．
（Ⅱ）先求出直线l在x轴，y轴上的截距，再根据直线l在x轴，y轴上的截距相等，求得m的值，可得直线l的方程．
本题主要考查直线经过定点问题，直线的截距的定义，属于中档题． 18.【答案】解：（Ⅰ）直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1， 可得直线l的斜率为=2，
则直线l的方程为y-3=2（x-1），即y=2x+1；
22
（Ⅱ）若直线1与圆C：（x-a）+（y+a）=5相切， 可得圆心（a，-a）到直线l的距离为，即有 =，
解得a=-2或．
【解析】（Ⅰ）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；
（Ⅱ）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值． 本题考查直线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解（1）圆心C（1，2），r=5，设D（m，n），因为圆心C与D关于直线对称，所以
?D（3，-2），r=5
所以圆D标准方程为：（x-3）2+（y+2）2=25 （2）设点C到直l距离d，因为2=8?d=3
①当l斜率不存在时，直线方程x=4，满足题意 ②l斜率存在时，设直线方程为y+4=k（x-4） d==3?k=-
综上，直线方程x=4或3x+4y+4=0
（3）直线l过定点M（-3，1），当CM⊥l时，弦长最短， ∵kCM=，∴k=-4 此时最短弦长为2=4．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
（1）根据圆心关于直线对称，半径相等可得圆D的标准方程． （2）根据点到直线的距离和勾股定理列方程可解得．
（3）直线l过定点M（-3，1），当CM⊥l时，弦长最短，据此可求得． 20.【答案】解：（1）由，解得c=6，所以，b2=a2-c2=64， 故所求的椭圆方程为：；
（2）直线x-y+2=0与坐标轴的交点坐标分别是（-2，0），（0，2），
2
当焦点坐标为（-2，0）时，p=4，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：y=-8x． 当焦点坐标为（0，2）时，p=4，
顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：x2=8y．
【解析】（1）利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程．
（2）求出直线与坐标轴的交点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，是基本知识的考查．
21.【答案】解：（1）由长轴长为2a=2，a=，离心率e===， ∴故所求椭圆方程为；
（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1， 所以直线l的方程为y=x-1，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由，得3y2+2y-1=0，解得y1=-1，y2=， 则S△POQ=|OF|?|y1-y2|=|y1-y2|=， ∴△POQ的面积．
【解析】（1）由2a=2，根据离心率公式即可求得c，求得b，即可求得椭圆方程；
（2）求出斜率为1的直线l的方程，与椭圆方程联立，求出交点的纵坐标，即可求△POQ的面积．
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）由题意得：，
因为点B的横坐标为4，且B在x 轴的上方，所以， 因为AB的斜率为， 所以，整理得：， 即，得p=2，
2
抛物线C的方程为：y=4x．
（2）由（1）得：B（4，4），F（1，0），准线方程x=-1， 直线l的方程：，
由，解得或x=4，于是得． 设点，又题意n≠1且n≠-4， 所以直线PA：，令x=-1，得， 即，
同理可得：， HG?HE=．
【解析】（1）由AB的斜率为，可得，解得p=2即可， （2）设点，可得 ，，即可得HG?HE=．
本题考查了抛物线的性质，计算能力，转化思想，属于中档题．
辽宁省凌源市联合校2024 - 2024学年高二数学上学期期中试题（含解析）
