2?uy?v0 v?ux??2 （4）
这样，所考察的粒子的速度可分为三部分：
沿z轴的分速度uz．其大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．
沿y轴的速度v0．对带正电的粒子，速度的方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，速度的方向沿y轴的正方向．与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消，故粒子将以速率v0沿y轴运动．由（3）式可知，v0的大小是恒定的，与粒子的初速度无关，且对同种的粒子相同．
在Oxy平面内的速度v．与这速度联系的洛伦兹力使粒子在Oxy平面内作速率为v的匀速率圆周运动，若以R表示圆周的半径，则有
mvv2 （5） qvB?m得R?qBR由（4）、（5）式可知，轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
由此可见，等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（3）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．
由（3）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为 v0e?9.2?10?6m/s
（6）
v0p?1.7?10?2m/s
（7）
由于电子、质子漂移速度的方向相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有 j?nqv0p?v0e
??（8）
代入有关数据得j?2.8?10?14A/m2 （9）电流密度的方向沿纬度向东.
2．上一小题的讨论表明，粒子在Oxy平面内作圆周运动，运动的速率由（4）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为
22 （10） v?ux?v0
由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为Re?0.33m （11）Rp?14.8m （12）
以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m，都远小于等离子层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上. 解法二：.
1.由于等离子层的厚度远小于地球半径，故在所考察等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度
引力加速度
3.0?10?R?B??0?B0?T?2.4?10??T （1）
125?r?3?59.8?R?g??0?g0?m/s2?0.39m/s2 （2）
25?r?2考察等离子层中的某一质量为m，电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球
z
中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz. 若以vx、vy、vz表示粒子在任意时刻t的速度v在x方向、y方向和z方向的分速度，则带电粒子在引力和洛伦兹力的共同作用下的运动方程为
x
O vx
vz
vy y
图1
m?dvxmg??mg?qvyB?qB?vy?? dtqB??（3）
mdvydt??qvxB （4）mdvz?0 （5） dt（5）式表明，所考察粒子的速度在z轴上的分量保持不变，即
vz?uz （6）作变量代换，令Vx?vxVy?vy?v0 （7） 其中
v0?mg qB （8）把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得
mdVx?qBVy （9） dtmdVydt??qVxB （10）
由（9）、(10) 两式可知，作用于粒子的力F在x和y方向的分量分别为
Fx?qBVyFy??qBVx
若用?1表示F的方向与x轴的夹角，?2表示V的方向与x轴的夹角，而V?Vx2?Vy2，则有
tan?1?FyFx??VyVxtan?2? VyVx可见tan?1?tan?2??1，表明F的方向与V的方向垂直，粒子将在F的作用下在Oxy平面内作速率为V的匀速圆周运动．若以R表示圆周的半径，则有
mVV2 R? （11） qVB?mqBR在匀速圆周运动中，V的大小是不变的，任何时刻V的值也就是t?0时刻V的值，由（7）式和已知条件在t?0时刻有Vx?uxVy?uy?v02?uy?v0故有V?ux??2 （12）
以上讨论表明，粒子的运动可分成三部分：
根据（6）式vz?uz，可知粒子沿z轴的分速度大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．
根据（7）式可得vx?Vx，vy?Vy?v0，表明粒子在Oxy平面内以速率V作圆周运动的同时，又以速度v0沿y轴运动．Vx、Vy是圆周运动速度的x分量和y分量．圆周运动的轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
沿y轴的速度v0由（8）式给出，其大小是恒定的，与粒子的初速度无关，同种粒子相同，但对带正电的粒子，其方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，其方向沿y轴的正方向．
由此可见，等离子层内电子和质子虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（8）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．
由（8）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为
v0e?9.2?10?6m/s （13）v0p?1.7?10?2m/s （14）
由于电子、质子漂移速度的方相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有j?nqv0p?v0e （15）代入有关数据得j?2.8?10?14A/m2
（16）
电流密度的方向沿纬度向东.
2．上一小题的讨论表明，粒子在Oxy平面内作圆周运动，运动的速率由（12）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为
22 （17） V?ux?v0??因题给出的电子与质子的初速度ux是不同的，电子、质子的质量又是不同的，故电子、质子在Oxy平面内作圆周运动的半径也是不同的．由（1）、（2）、（8）、（11）、（12）各式并代入有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为
Re?0.33m （18）
Rp?14.8m （19）
以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m，都远小于电离层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上. 六、参考解答：
1．
lD?s2．? ld附1、2两问的参考解法：
1．求S?经双缝产生的干涉图像的零级亮纹P0?的位置
?，它也就是光源S?与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，设P0?点的坐标为y0即
?0??y?y0??0?y0? P0P????由双缝到P0?点的光程差?1?S2P0?S1P0，从S1作S2P0的垂线交于H点，三角形OP0P0与
三角形S1HS2相似，因D??d， 则
?1?dd???y （附1） y0DDy 从S2作
P0? S?S1的
S S? ?s l ? 2 S1 G O d H ?S2 1 D ? y0z 垂线交于G，S?到双缝
P0 图1 的光程
差
?2?S?S2?S?S1 （附2）
三角形SOS?与三角形S1GS2相似，因l??d，则
d?2?S?S2?S?G?GS1??GS1???s
l??（附3）
对满足零光程差条件的P0?而言， 得
dd?s?S?S2?S2P0????S?S1?S1P0????1??2??y??0 ????DlD??s l?y?（附4）
2．在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为 ?y?D? d（附5）
不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的?s值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源．
间距?y均如（5）式所示．宽度为w的扩展光源是由一系列?s值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成．因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成．当扩展光源宽度为w时，对于光源最边缘点有
?s?w （附6） 代入（4）式 若
?y?Dlw （附7）
?y??y
（附8）
第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷及参考解答
