2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
（2010年12月12日 上午9:00~11:00）
题 号 得 分 评 卷 复 核 一 （1~10） 二 总分 11 12 13 14 解答本试卷可以使用计算器
一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）
1111051. 已知x??3，则x?x?5?10?_________。
xxx
2. 满足方程?x?3??y2??x?y??3的所有实数对?x，y?为__________。
22
3. 已知直角三角形ABC中，?C?90，BC?6，CA?3，CD为?C的角平分线，则_________。
4. 若前2011个正整数的乘积1?2???2011能被2010整除，则正整数k的最大值为________。
5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。
y A
N M
OBCx
1
k?6. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。
HAD
E
G O CBF
7. 整数p，q满足p?q?2010，且关于x的一元二次方程67x2?px?q?0的两个根均为正整数，则p?________。
28. 已知实数a，b，c满足a?b?c，a?b?c?0且a?0。设x1，x2是方程ax?bx?c?0的
两个实数根，则平面直线坐标系内两点A?x1，x2?，B?x2，x1?之间的距离的最大值为_______。
9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。
A
PBE Q DC
10. 设a，b，c是整数，1?a?b?c?9，且abc?bca?cab?1能被9整除，则a?b?c的最小值是_________，最大值是__________。
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二、 解答题（每题15分，共60分）
11. 已知面积为4的?ABC的边长分别为BC?a，CA?b，AB?c，c?b，AD是?A的角平分线，点C'是点C关于直线AD的对称点，若?C'BD与?ABC相似，求?ABC的周长的最小值。 A
C'
B
CD
12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数
abc ， def ， ghi ， beh ， cfi 和aei都能被11整除，求三位数ceg的最大值
222abcdefghi13. 设实数x，y，z满足x?y?z?0，且?x?y???y?z???z?x??2，求x的最大值和最小值
b形式的数为“好数”，其中a，b都是整数 14. 称具有a?161（1）证明：100，2010都是“好数”。 （2）证明：存在正整数x，y，使得x
16122?y161是“好数”，而x?y不是“好数”。
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2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
（2010年12月12日 上午9:00~11:00）
题 号 得 分 评 卷 复 核 一 （1~10） 二 总分 11 12 13 14 解答本试卷可以使用计算器
一、 填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）
111 1. 已知x??3，则x10?x5?5?10? 15250
xxx1解：?x??3
x111?(x?)2?x2?2?2 即x2?2?7
xxxx3?11112(x?)(x?)?21?3?18 ?(x?)-32xxxxx4?113?x??2?49?2?47 43xx111143(x?)?(x?)x??47*3-18=123 -543xxxxx5?x10?故x101125?(x?)?2?1232?2?15127 105xx?x5?11?? 15250 510xx222. 满足方程?x?3??y2??x?y??3的所有实数对?x，y?为 （-2，-1） 解：由题意知，2x?(6?2y)x?2y?6?0
22??(6?2y)2?8(2y2?6)??12(y?1)2?0
2故y?2y?1?0 y??1 可得x??2
4
3已知直角三角形ABC中，?C?90，BC?6，CA?3，CD为?C的角平分线，则 CD=22
解：令CD=x 由面积正弦定理可知
B?Sabc?9?11?3?x?sin45??6?xsin45 故x=22 22D
kCA
4 若前2011个正整数的乘积1?2???2011能被2010整除，则正整数k的最大值为 30 解：2010?2?3?5?67 [2010]?30 故 kmax= 30 67
5 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为
53(,) 44 解;
yAMNCxOBCANM???1BCANMN?AN?1?C(1,0)A(2,353?N(,)2253M(,)44OB
6 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是 6.5 解：
连接AO,OD,BO,OC 面积比如图2 所示
5
2010年上海市新知杯初中数学竞赛试题及详解
