4.(2024·安徽五校联盟第二次质检)如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.
(1)证明：PQ∥平面ABCD；
(2)若CD⊥BE，EF＝EC，CD＝2EF，BC＝tEF，求平面ADF与平面BCE所成锐二面角的大小．
5．(2024·东北四市联合体模拟(一))如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．
(1)证明：AE⊥PB；
(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时，求二面角A-PE-C的余弦值．
6.(2024·广州市综合检测(一))如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP.
(1)证明：平面ACD⊥平面BDP；
(2)若BD＝6，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．
7.(2024·长沙市统一模拟考试)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝90°，AD＝3，BE＝3，CF＝4，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？
8．在平行四边形PABC中，PA＝4，PC＝22，∠P＝45°，D是PA的中点(如图1)．将△PCD沿CD折起到图2中△P1CD的位置，得到四棱锥P1-ABCD.
(1)将△PCD沿CD折起的过程中，CD⊥平面P1DA是否成立？请证明你的结论． (2)若P1D与平面ABCD所成的角为60°，且△P1DA为锐角三角形，求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值．
9. (2024·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
2024高考数学逆袭：专题三立体几何
