第2讲 空间位置关系的判断与证明
[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 面面平行的判定·T7 2024 线面平行的证明·T18(1) 线面垂直的证明·T17(1) 求异面直线所成的角·T9 线面垂直的证明·T20(1) 求异面直线所成的2017 面面垂直的证明·T18(1) 角·T10 线面平行的证明·T19(1) 圆锥、空间线线角的求解·T16 面面垂直的证明·T19(1) 面面垂直的证明·T19(1) 全国卷Ⅲ 直线与直线位置关系的判定·T8 面面垂直的证明·T19(1) 直线与平面所成的角、正方2024 体的截面·T12 面面垂直的证明·T18(1) (1)高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题或只考一道解答题．
(2)选择题一般在第9～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．
(3)解答题多出现在第18或19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等．
考点一 空间点、线、面的位置关系
1.[命题真假的判定]已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，给出下列命题： ①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l； ③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是( ) A．①④ C．①②
2.[判断直线与直线的位置关系](2024·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
B．③④ D．①③
3.[线面垂直、面面垂直的判定]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF
4.[求异面直线所成的角](2024·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A．C．
1.[与充要条件交汇](2024·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
2.[与命题的交汇](2024·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________．
3.[线面角与其他问题的交汇](2024·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角7
的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为
8
2 25 2
B．D．
3 27 2
B．AH⊥平面EFH D．HG⊥平面AEF
________．
考点二 空间平行、垂直关系的证明
[例1] 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥1
BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝AD.
2
求证：(1)PA⊥CD； (2)平面PBD⊥平面PAB.
2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG.
考点三 平面图形中的折叠问题
1
[例2] 如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，
2E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图②.在图②所示的几何体D-ABC中．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F-BCE的体积．
1.如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF，如图②.
(1)求证：NC∥平面MFD； (2)若EC＝3，求证：ND⊥FC； (3)求四面体NEFD体积的最大值．
2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
【课后专项练习】
A组
一、选择题
1．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α
2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；
2024高考数学逆袭：专题三立体几何
