专题三 立体几何
第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积
[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 空间几何体的结构特征、直观图、几何运算、数学文化·T16 全国卷Ⅲ 空间两直线的位置关系的判定·T8 简单几何体的组合体、长方体和棱锥的体积·T16 三视图与数学文化·T3 与外接球有关的空间几何体体积的最值问题·T10 球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T8 2024 三棱锥的外接球、球的体积·T12 空间几何体的三视2024 图、直观图及最短路径问题·T7 空间几何体的三视图2017 与直观图、面积的计算·T7 圆锥的性质及侧面积的计算·T16 空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4 (1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．
(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第12或16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．
考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图
[例1] (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如
图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
(2)(2024·江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( )
A．
5
2
B．2 3D．
2
35C．
5
(3)(2024·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
33A．
432C．
4
23B．
3D．
1.(2024·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．217 C．3
2．已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．
考点二 几何体的表面积与体积 题型一 求空间几何体的表面积
[例2] (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为( )
A．83
B．8＋83 B．25 D．2
3
2
C．62＋23 D．8＋62＋23
(2)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如544≈23，550≈23)( )
A．250平方尺 C．1 035平方尺
题型二 求空间几何体的体积
[例3] (1)(2024·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，
侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
(2)(2024·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为______．
B．990平方尺 D．518平方尺
1．(2024·重庆市学业质量调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
32
A. 3128C. 3
64B．
3160D．
3
2．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．3034 C．3034＋135
3．已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1
∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为________．
考点三 与球有关的切、接问题 题型一 外接球
[例4] (2024·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．86π C．26π
题型二 内切球
[例5] 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该7
三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该
8三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )
7πA. 62πC. 3
题型三 与球有关的最值问题
[例6] (2024·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A．123 C．243
B．183 D．543 4πB．
3πD．
2B．46π D．6π B．6034 D．135
1．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
8A．π
3C．16π
2．(2024·福建五校第二次联考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为______．
3．已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O的体积为______．
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )
32
B．π
3D．32π
A．2π＋4 2πC.＋4 3
B．4π＋2 4πD．＋8
3
2024高考数学逆袭：专题三立体几何
