几种常见的放缩法证明不等式
的方法(总3页)
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几种常见的放缩法证明不等式的方法
一、
放缩后转化为等比数列。
例1. {bn}满足：b1?1,bn?1?bn2?(n?2)bn?3 （1） 用数学归纳法证明：bn?n （2） Tn?解：(1)略
(2) bn?1?3?bn(bn?n)?2(bn?3) 又 bn?n
?bn?1?3?2(bn?3) ， n?N* 迭乘得：bn?3?2n?1(b1?3)?2n?1 ?11?n?1,n?N* bn?321111111 ???...????234n?1n?1222222211111，求证：Tn? ???...?23?b13?b23?b33?bn ?Tn?点评：把握“bn?3”这一特征对“bn?1?bn2?(n?2)bn?3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂
项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！
二、放缩后裂项迭加
1例2．数列{an}，an?(?1)n?1，其前n项和为sn
n求证：s2n?2 211111解：s2n?1????...? ?2342n?12n令bn?1，{bn}的前n项和为Tn
2n(2n?1)1111?(?)
2n(2n?2)4n?1n当n?2时，bn?- 2 -
?s2n?Tn?111111111111???(?)?(?)?...?(?) 212304344564n?1n ?712 ??104n2点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用
的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
b例3.已知函数f(x)?ax??c(a?0)的图象在(1,f(1))处的切线方程为
xy?x?1
（1）用a表示出b,c
（2）若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范围
111n（3）证明：1???...??ln(n?1)?
23n2(n?1)解：（1）（2）略
1（3）由（II）知：当a?时,有f(x)?lnx(x?1)
2111令a?,有f(x)?(x?)?lnx(x?1).
22x11且当x?1时,(x?)?lnx.
2xk?1??11k?1k111令x?,有ln?[?]?[(1?)?(1?)],
kk2kk?12kk?1111即ln(k?1)?lnk?(?),k?1,2,3,?,n.
2kk?1将上述n个不等式依次相加得
ln(n?1)?整理得
11111?(????)?, 223n2(n?1)1?111n?????ln(n?1)?. 23n2(n?1)点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一
个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。 三、 放缩后迭乘
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几种常见的放缩法证明不等式的方法
