2015年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及答案

2015年清华大学自主招生暨领军计划 数学试题 说明：本试卷共30小题，共100分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分． 1、设复数z?cos2?2?3?isin3，则111?z?1?z2=（ ） A．0 B．1 C．1/2 D．3/2 2、设{an}为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“ap+aq>ak+al”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3、设A,B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点．若OA⊥OB，则（ ）A．|OA|?|OB|?2 B．|OA|+|OB|?22

C．直线AB过抛物线y=x2的焦点 D．O到直线AB的距离小于等于1

4、设函数f(x)的定义域为(?1,1)，且满足： ① f(x)>0，x∈(?1,0)； ② f(x)?f(y)?f(x?y1?xy)，x,y∈(?1,1)， 则f(x)为（ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．减函数 D．有界函数

5、如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)?kx有（ A．2个极大值点 B．3个极大值点 C．2个极小值点 D．3个极小值点

） ）

6、△ABC的三边分别为a,b,c．若c=2，∠C=?，且sinC+sin(B?A)?2sin2A=0，则（ ） 3A． b=2a

B．△ABC的周长为2+23

C．△ABC的面积为

233 D．△ABC的外接圆半径为233

7、设函数f(x)?(x2?3)ex，则（ ） A．f(x)有极小值，但无最小值 B．f(x)有极大值，但无最大值

C．若方程f(x)=b恰有一个实根，则b?6e3 D．若方程f(x)=b恰有三个不同实根，则0?b?6e3

8、已知A?{(x,y)x2?y2?r2}，B?{(x,y)(x?a)2?(y?b)2?r2}，已知

A∩B={(x1,y1),(x2,y2)}，则（ ） A．0?a2?b2?2r2

B．a(x1?x2)?b(y1?y2)?0 C．x1+x2?a，y1+y2?b D．a2?b2=2ax1?2by1

9、已知非负实数x,y,z满足4x2?4y2?z2?2z?3，则5x?4y?3z的最小值为（ A．1

）

B．2 C．3 D．4

10、设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则（ ） A．{an}可能为等差数列 B．{an}可能为等比数列

C．{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差 D．对任意正整数n，总存在正整数m，使得an=Sm

11、运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

12、长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则A到平面A1BD的距离为（ ）

1 32B．

3A．C．

2 26 3D．

??x?y?213、设不等式组? 所表示的区域为D，其面积为S，则（ ）

??y?2?k(x?1)A．若S=4，则k的值唯一 B．若S=1/2，则k的值有2个 C．若D为三角形，则04

14、△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则OA?AB?OB?BC?OC?CA?（ ） A．0 B．?15 C．?21/2 D．?29/2

??????

15、设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A?B)=0.2，则（ ） A．P(A)=0.4 B．P(B?A)=0.3 C．P(AB)=0.2 D．P(A+B)=0.9

16、过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） A．最小值为3/4 B．最小值为4/5 C．最大值为4/3 D．最大值为5/4

17、从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ） A．105种 B．225种 C．315种 D．420种

18、已知存在实数r，使得圆周x2+y2=r2上恰好有n个整点，则n可以等于（ ） A．4 B．6 C．8 D．12

19、设复数z满足2|z|?|z?1|，则（ ） A．|z|的最大值为1 B．|z|的最小值为1/3 C．z的虚部的最大值为2/3 D．z的实部的最大值为1/3

20、设m,n是大于零的实数，向量a=(mcosα, msinα)，b=(ncosβ, nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)．定义向量a?(mcos121212?,msin)，b?(ncos,nsin)，记θ=α?β，则（ ） 2222?12??A．a?a=a

12B．a?b=mncos1212212?2?

C．a?b?4mnsin2?4

D．a+b

12122?4mncos2?4

21、设数列{an}满足：a1?6，an?1A．?n∈N* ，an<(n+1)3 B．?n∈N* ，an≠2015 C．?n∈N* ，an为完全平方数 D．?n∈N* ，an为完全立方数

?n?3an，则（ ） n22、在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ）

1

cos??sin?1B．??

2?sin?1C．??

2?cos?1D．??

1+2sin?A．??

23、设函数

f(x)?sin?x，则（ ）

x2?x?1A． f(x)?4/3 B． |f(x)|?5|x|

C．曲线y=f(x)存在对称轴 D．曲线y=f(x)存在对称中心

24、△ABC的三边分别为a,b,c，若△ABC为锐角三角形，则（ ） A． sinA>cosB B． tanA>cotB C． a2+b2>c2 D． a3+b3>c3

25、设函数f(x)的定义域是(?1,1)，若f(0)=f′(0)=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） A． f(x)>0，x∈(?δ,δ) B． f(x)在(?δ,δ)上单调递增 C． f(x)>1， x∈(0,δ) D． f(x)>1， x∈(?δ,0)

26、在直角坐标系中，已知A(?1,0)，B(1,0)．若对于y轴上的任意n个不同点P1,P2,?,Pn，总存在两个不同点Pi,Pj，使得|sin∠APiB?sin∠APjB|?1/3，则n的最小值为（ ） A．3 B．4