第四章 线性变换
习题精解
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间 V 中， A 2） 在线性空间 V 中， A
3
,其中
其中
V 是一固定的向量；
V 是一固定的向量；
3） 在 P 中， A 3( x, x, x)1 2 ( x12 , x2
x3 , x32 ) ；
3 4） 在P 中， A ( x1 , x2 , x3 )
5） 在 P[ x] 中， A
f ( x)
(2x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ； f (x 1)
其中
0
6） 在 P[ x] 中， A f ( x)f (x),
0 x
P 是一固定的数； A
7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， 解 1)当 3) A (k ) 4)是 .因取 A (
8） 在 P n n 中， AX=BXC 其中 B,C P n n 是两个固定的矩阵 .
0 时,是 ;当 0 时,不是 .
0 时,是 ;当 0 时,不是. 2)当
k ( ) (2,0,0) 不是 例如当 (1,0,0) k 2 时
.
(k ) (4,0,0)
,
, A
, A ,
k A( ) .
(x1 , x2 , x3 ),
= (2x1 = (2x1 =A +A
( y1 , y2 , y3 ) ,有
) = A (x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 )
2 y1 x2
y2 , x2 y2 x3 y3 , x1 y1 )
x2 , x2 x3 , x1 ) (2 y1 y2 , y2 y3 , y1 )
A (k )
A (kx1 , kx2 , kx3 )
(2kx1 kx2 , kx2 kx3 , kx1 ) (2kx1 kx2 , kx2 kx3 , kx1 )
= k A ( )
故 A 是 P3 上的线性变换 . 5) 是 .因任取 f ( x)
P[ x], g (x)
P[ x] ,并令
u( x) f ( x) g( x) 则
A ( f (x)
g( x)) = A u( x) = u(x 1) = f (x 1) g ( x 1) =A f ( x) + A ( g( x))
再令 v( x) kf ( x) 则 A (kf ( x)) A (v( x)) v( x 1) kf ( x 1) k A ( f ( x)) 故 A 为 P[ x] 上的线性变换 .
6) 是 .因任取 f (x) A ( f (x) A (kf ( x))
7)不是 .例如取
P[ x], g ( x) P[ x] 则.
g( x)) = f (x0 ) g( x0 ) A ( f (x))
A ( g( x) )
kf (x0 ) k A ( f ( x))
a=
则 kA(a)
A(ka)=-i , k( Aa)=i, A(ka)
8)是 .因任取二矩阵 X ,Y A( X
P n n ,则
Y) B(X Y)C BXC BYC A X +AY
A(k X )= B(kX ) k( BXC ) k A X
故 A 是 Pn n 上的线性变换 .
2.在几何空间中,取直角坐标系 oxy,以 A 表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换 ,, 轴以 B 表示绕 oy 向 ox 方向旋转 90 度的变换 ,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90 度的 变换 .证明 :
4
4
4
2
2
2
2
A =B =C =E,AB BA,A B =B A
并检验 (AB) 2 =A 2 B 2 是否成立 . 解 任取一向量 a=(x,y,z), 则有
1) 因为 Aa=(x,-z,y), A a=(x,z,-y), Ba=(z,y,-x), B 3 a=(-z,y,x), Ca=(-y,x,z),
3 3
2 4
A a=(x,-y,-z)
A
B a=(-x,y,-z) B 4 a=(x,y,z)
2
a=(x,y,z)
C 2 a=(-x,-y,z)
4
C a=(y,-x,z), 所以
A =B =C =E 2) 因为
4
4
4
C a=(x,y,z)
AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y) BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB
BA
2
3)因为
2
2
A 2 B 2 (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)
B A (a)=B (x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以
2
2
2
2
A B =B A 3) 因为
A B (a)=(-x,-y,z) 所以
2
2
2
2
2
(AB) 2 (a)=( AB)(AB(a))_= AB(z,x,y)=(y,z,x)
(AB)
A B
'
3.在 P[x] 中 ,A f ( x) f ( x), B f ( x) xf ( x)
证 任取 f ( x)
P[x], 则有
(AB-BA ) f (x) =AB f ( x) -BA f (x) =A ( xf ( x)) -B( f ' ( x)) = f ( x) xf ; ( x) - xf ' ( x) = f (x) 所以 AB-BA=E
4.设 A,B 是线性变换 ,如果 AB-BA=E, 证明 :
k
k
k 1
A B-BA = k A
(k>1)
证 采用数学归纳法 . 当 k=2 时
A B-BA =(A B-ABA)+(ABA-BA 结论成立 . 归纳假设 k
m 1 2
2
2
2
m
)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA= 2A
m
m 1
m 时结论成立 即
m 1
m
m 1
,
A B-BA = m A .则当 k
m
m 1
m
m 1 时 ,有
m
m
m
A
m 1
B-BA =(A
m
B-A
BA)+(A BA-BA
)=A
(AB-BA)+(A
B-BA )A=A
E+ m A
A= (m 1) A
即 k m 1 时结论成立 .故对一切 k 1 结论成立 . 5.证明 :可逆变换是双射 .
证 设 A 是可逆变换 ,它的逆变换为 A 1
.
若 a b ,则必有 Aa Ab,不然设 Aa=A b,两边左乘 A 其次 ,对任一向量 b,必有 a 使 Aa=b,事实上 ,令 A 因此 ,A 是一个双射 .
1 ,有 a=b,这与条件矛盾 .
1
b=a 即可 .
6.设 1, 2, , n 是线性空间 V 的一组基， A 是 V 上的线性变换。 证明： A 是可逆变换当且
仅当 A 1,A 证 因
2
,
,A n 线性无关 .
A( 1, 2, , n )=( A 1 ,A
2
,
,A n )=( 1 , 2 , , n )A
故 A 可逆的充要条件是矩阵
A 可逆 ,而矩阵 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 , ,A n 线性无关 .
故 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵
,
,A n 线性无关 .
:
1) 第 1 题 4)中变换 A 在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵 ; 2) [o;
1 , 2 ] 是平面上一直角坐标系 ,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影 ,B 是平面上的向量对 2 的垂直投影 ,求 A,B,AB 在基 1 , 2 下的矩阵 ;
3) 在空间 P[x] n 中 ,设变换 A 为 f ( x) 试求 A在基 i = x( x 1)
f (x
(I=1,2,
1) f ( x)
,n-1)
( x i 1)
1
i!
下的矩阵 A; 4) 六个函数
3 = x e
ax
1 =e ax cos bx , 2 =e ax sin bx
cos bx , 4 = x e ax sin bx
2ax x e cosbx , 1= 1 e ax x 2 sin bx 1 = 2 2
1
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间 矩阵 ;
,求微分变换 D 在基 i (i=1,2, ,6)下的
1 0
2 =(1,0,-1), 3 =(0,1,1) 下的矩阵是1
1 0 1
3
5) 已知 P 中线性变换 A 在基 1 =(-1,1,1),
1
1 2
A 在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵 ;
3
6) 在 P中,A 定义如下 :
2 3
A A A
1
( 5,0,3) (0, 1,6)
( 5, 1,9)
其中
1
( 1,0,2)
2 3
(0,1,1) (3, 1,0)
求在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵 ; 7) 同上,求 A在 1, 2, 3下的矩阵 . 解 1)
A 1 =(2,0,1)=2
1 + 3
A 2 =(-1,1,0)=- A 3 =(0,1,0)=
2
2
1
+
2
故在基
1
,，
2 1 0
1 0
3 下的矩阵为 0
1 1 0
1
1
，2）取 1=（1，0）， 2 =（0，1）则 A 1 = 2 1 + 2
2
=
1 A
2
2
1
+
1
2
2
1 1 故A在基
2 2 1，
2 下的矩阵为 A=
1 1
2
2
， B 0 0
2= 2所以 B在基
，
又因为 B 1=01
2 下的矩阵为 B= ，另外，（
0
1
1 1 （B 2）=A 2= 1 +
2
2
2
01
2
所以 AB 在基
，
1
2 下的矩阵为 AB = ，
0 1
2
3）因为
0
1, 1 x, 2
x(x 1) , , n 1
x(x
1) [ x ( n 2)]
2!
(n 1)!
，所以 A 0
1 1 0
A
1
(x 1) x
0
A( x 1)x [ x (n 3)]
x( x 1) [ x ( n 2)]
n 1
1)!
(n
( n 1)!
x(x 1)
[ x (n
3)]
=
{
(n1)!(x 1) [ x (n 2)] }
=
n 2
AB） 2 =A
高等代数第四章线性变换
