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圆锥曲线应用举例
涉及解析几何知识的实际应用题是多方面的，诸如探照灯、看电视的视角、工程中的运费、台风中心的移动等等，这些问题的解法本质需要借助圆锥曲线的方程加以坐标化处理.
1．椭圆型
y 例1 电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分(如图实线部分所示)，灯泡在焦点F2处，而且灯泡与反射镜的顶点A的距离F2A?1.5 cm，椭圆的通径BC?5.4 cm为了使电影放映机镜头获得最强的光线，镜头应安在距灯泡多远的地方?
解析：据椭圆镜面的光学性质，从椭圆一个焦点射出的光线经过椭圆反后应聚焦在另一个焦点上，故镜头应放在另一个焦
B O F2C A x F1 点F1上，因此需要求出焦距．设焦距F1F2?2c，如图，知B点的坐标为(c,2.7).由椭圆的定义BF1?BF2?2OA，知
(c?c)2?2.72?2.7?2(c?1.5) ，解得2c?12
(cm)，故镜头应安在距灯泡12cm处.
2．双曲线型
例2舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30?且与B相距4 km处，它们围捕海洋动物．某时刻A发现动物信号，4
秒后B、C同时发现这种信号．A发射麻醉炮弹．设舰与动物均为静止的．动物信号的传播速度是1km／s．炮弹运行的初速度是
203gkm／s，其中g为重力加速度．若不计空气阻力与3舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少?
解析：对舰B而言，A、C两舰位置如图所示。为方便起见，取B所在直线为x轴， AB的中点O为原点建立直角坐标系，则
A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(?3,0) (?5,23)由于B、
C同时发现动物信号，记动物所处位置为P，则PB?PC.于是P在BC的中垂线l上，
易求得其方程为：
3x?3y?73?0
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知PB?PA?4，于是知P应在双
x2y2??1 的右支上． 曲线： 45直线l与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置，至此问题便可获解.
据已知两点的斜率公式，得直线PA的倾斜角为60?，于是舰A发射炮弹的方位角应是
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北偏东30。利用两点间的距离公式，可得PA?10．又根据物理知识，可以算出仰角为30?。
或60?.
3．抛物线型
例3在我国的古运河上建有许多形状相同的抛物线型拱桥且An (从上游到下游进行标
记，1，2，…)，经测量知，相邻两座桥之间的距离an近似满足an?800?150n(n?1，n?0，2，…)．这些拱桥当水面距拱顶5 m时，桥洞水面宽为8 m.每年汛期，船公都要考虑拱桥的通行问题．假定船露出水面部分的高为
3m，宽为4m. 4 (1)要使该船能顺利通过拱桥，试问水面距拱顶的高度应至少多少?
(2)已知河水每小时上涨0.15 m，船在静水中的速度为0.4 m／s，水流速度为15 m／min．若船从A0桥(水面距拱顶为5 m)起锚顺水航行时，河水开始上涨，试问船将在哪一座桥有可能受阻?(23689?153.9,21844?147.8,25536?159.8).
(3)若船通过An?1桥后，在An桥受阻，你会采取什么措施使该船顺利通过此桥?采取措施所用时间忽略不计，说明措施即可，不必证明．
解析：（1）取抛物线型拱桥的拱顶为坐标原点，拱桥的对称轴所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设当水面上涨到与拱顶相距h时，船不能通行．设抛物线方程为
x2??2py(p?0)．
因A(4,?5)在此抛物线上，故解得p?1.6．当水面距拱顶h米时，该船能通过拱桥。由于船宽BB'?4，所以问题转化为求抛物线x??3.2y上横坐标为2的点B的纵坐标y1，
2将x?2代入方程得y1??利通过.
53，?h?y1??2，因此，水面距拱顶至少2米，船才能顺445?2?20小时，A0桥到An桥的距离0.15（2）河水水面由距离拱顶5米上升到2米需
(a1?an)n(950?800?150n)1750n?150n2，船顺水航行的速度Sn???222V=1440+900=2340米/小时，在这段时间内，船航行的路程d=2340?20=46800米.
1750n?150n2?46800，解得n?19.8，故取n?19时， 此时由
24370?S19?d?S20?47500，所以，船在A20桥时受阻.
（3）当船通过An?1桥后，发现船可能在An桥受阻，船工可以立即采取加快船速的方法；
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或者给船加载时船体下沉（不超过
3米）等方法，使船顺利通过An桥. 4
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人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线应用举例
