高三数学一轮复习优质教案7：2.2 函数的单调性与最值教学设计

高三数学一轮复习教案

2.2 函数的单调性与最值

一、基础知识要打牢

『知识能否忆起』

一、函数的单调性 1．单调函数的定义 定义 图象描述 2．单调区间的定义

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

二、函数的最值 前提 条件 结论 『小题能否全取』

1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y＝x＋1 1

C．y＝

x

B．y＝－x3 D．y＝x|x|

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最大值 ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最小值 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 增函数 减函数 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) 1A．k>

2

1B．k<

21

D．k<－

2

1

C．k>－

2

3．(教材习题改编)函数f(x)＝

1

的最大值是( )

1－x1－x

1

高三数学一轮复习教案 4A. 53C. 4

5B. 44D. 3

4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈『－2,4』)的单调增区间为________；f(x)max＝________.

?1??

x的取值范围是______．

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

『注意』 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

二、高频考点通关

考点一

典题导入

1

『例1』 证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．

x

『自主解答』 设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x1

则f(x1)＝2x1－，f(x2)＝2x2－，

x1x2112x1－?－?2x2－? f(x1)－f(x2)＝?x??x??

1

2

函数单调性的判断 11?＝2(x1－x2)＋??x－x?

2

1

1?

2＋＝(x1－x2)??x1x2?

1

由于x10，

x1x2因此f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)

2

高三数学一轮复习教案

故f(x)在(－∞，0)上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；

(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

－2x1．判断函数g(x)＝在 (1，＋∞)上的单调性．

x－1『答案』任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1

则g(x1)－g(x2)＝－

x1－1x2－1＝

2x1－x2

，

x1－1x2－1

由于1

所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0， 因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)

考点二

典题导入

『例2』 (2012·长沙模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，

??fx

定义函数fk(x)＝?

?k，f?

求函数的单调区间 ，fx≤k，x＞k，

取函数f(x)＝2

－|x|

1

.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区

2

间为( )

A．(－∞，0) C．(－∞，－1)

B．(0，＋∞) D．(1，＋∞)

11

『自主解答』 由f(x)>，得－1

22

11

所以f(x)＝2，－1＜x＜1，

2

x

?????2，x≤－1.

2x，x≥1，

－

1

故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．

2『答案』 C

3