?????x1??x0,?，使得f??x1??0
2??????f?x?在?x0,x1?上单调递增，在?x1,?上单调递减
?2?又
?2e???????ln1?0 f?x0??f?0??0，f???sin?ln?1???ln222??2????????f?x??0在?x0,?上恒成立，此时不存在零点
2??③当x?????,??时，sinx单调递减，?ln?x?1?单调递减 ?2?????f?x?在?,??上单调递减
?2?又f??????0，f????sin??ln???1???ln???1??0 2????????f??f?0fx即????，又??在?,??上单调递减
?2??2?????f?x?在?,??上存在唯一零点
?2?④当x???,???时，sinx??1,1，ln???x?1??ln???1??lne?1
?sinx?ln?x?1??0
即f?x?在
??,???上不存在零点
综上所述：f?x?有且仅有2个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一
只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，
pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,,7)，其中a?P(X??1)，b?P(X?0)，
c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,,7)为等比数列；
(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）p4?【解析】 【分析】
（1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出a,b,c的取值，可得
1. 257pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?，从而整理出
符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合
p8和p0的值可求得p1；再次利用累加法可求出p4.
【详解】（1）由题意可知X所有可能的取值为：?1，0，1
?P?X??1???1????；P?X?0??????1????1???；P?X?1????1???
则X的分布列如下：
X P ?1 0 1 ?1???? ????1????1??? ??1??? （2）
??0.5，??0.8
?a?0.5?0.8?0.4，b?0.5?0.8?0.5?0.2?0.5，c?0.5?0.2?0.1
（i）即
pi?api?1?bpi?cpi?1?i?1,2,???,7?
pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?
?4pi?1?pi?1?i?1,2,???,7? ?pi?1?pi?4?pi?pi?1??i?1,2,???,7?
整理可得：5pi??pi?1?pi??i?0,1,2,???,7?是以p1?p0为首项，4为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
pi?1?pi??p1?p0??4i?p1?4i
?p8?p7?p1?47，p7?p6?p1?46，……，p1?p0?p1?40
1?4848?1作和可得：p8?p0?p1?4?4?????4?p1?p1?1
1?43?017??p1?3 48?11?4444?1311 ?p4?p4?p0?p1?4?4?4?4?p1??8?4?1?434?14?1257?0123?p4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为
0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?说明这种实验方案合理.
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
1?0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，257（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
?1?t2x?，??1?t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数），以坐标原点O为
?y?4t?1?t2?极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．
y2【答案】（1）C:x?（2）7 ?1；l:2x?3y?11?0；
42【解析】 【分析】
（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
216t21?x1?t2t?2 【详解】（1）由x?得：，又y?221?x1?t?1?t?21?x1?x?4?1?x??1?x??4?4x2?y2? 2?1?x??1???1?x?16?的2y2整理可得C的直角坐标方程为：x??1
4又x??cos?，y??sin?
?l的直角坐标方程为：2x?3y?11?0
（2）设C上点的坐标为：?cos?,2sin??
???4sin???11??2cos??23sin??11则C上的点到直线l的距离 6??d??77???sin??当????1时，d取最小值
6??则dmin?7
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）
111???a2?b2?c2； abc333（2）(a?b)?(b?c)?(c?a)?24． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用abc=1将所证不等式可变为证明：a2?b2?c2?bc?ac?ab，利用基本不等式可证得2a?b?c33?222（2）利用基本不等式可得??2ab?2bc?2ac，从而得到结论；
3?a?b???b?c???c?a?33再次利用基本不等式可将式转化为?3?a?b??b?c??c?a?，
?a?b???b?c???c?a?【详解】（1）
3?24?abc?2，在取等条件一致的情况下，可得结论.
111?11abc?1 ???????abc?ab1??a?c??abc?bcc?a b2a2?b2?c2?a2?b2?b2?c2?c2?a2?2ab?2bc?2ac
当且仅当a?b?c时取等号
??????????111?111??2a2?b2?c2?2????，即：a2?b2?c2≥??
abc?abc?（2）号
?a?b???b?c???c?a?333?3?a?b??b?c??c?a?，当且仅当a?b?c时取等
又a?b?2ab，b?c?2bc，a?c?2ac（当且仅当a?b?c时等号同时成立）
??a?b???b?c???c?a??3?2ab?2bc?2ac?24又abc=1 ??a?b???b?c???c?a??24
333333?abc?2 【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
2024年高考理科数学试题解析版
