（1）利用三角形中位线和A1D//B1C可证得ME//ND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得MN//DE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB中点F，可证得DF?平面AMA1，得到平面
uuurAMA1的法向量DF；再通过向量法求得平面MA1N的法向量n，利用向量夹角公式求得
两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】（1）连接ME，B1C
M，E分别为BB1，BC中点 ?ME为?B1BC的中位线
?ME//B1C且ME?1B1C
2又N为A1D中点，且A1D//B1C ?ND//B1C且ND?1B1C 2?ME//ND ?四边形MNDE为平行四边形
?MN//DE，又MN?平面C1DE，DEì平面C1DE ?MN//平面C1DE
（2）设ACBD?O，AC11B1D1?O1
由直四棱柱性质可知：OO1?平面ABCD 四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：A?3,0,0，M?0,1,2?，A1???31?3,0,4?，D（0，-1,0）N??2,?2,2?? ???31?取AB中点F，连接DF，则F??2,2,0??
??四边形ABCD为菱形且?BAD?60 ??BAD为等边三角形 ?DF?又AA1?平面ABCD，DF?平面ABCD ?DF? ABAA1
∴DF?平面ABB1A1，即DF?平面AMA1
?DF为平面AMA1?33?一个法向量，且DF???2,2,0??
??设平面MA1N的法向量n??x,y,z?，又MA1??n?MA1?3x?y?2z?0???，令x?3，则y?1，z??1 ?n?33x?y?0?n?MN?22??cos?DF,n??DF?nDF?n?二面角A?MA1?N的正弦值为：10
5【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
的???31510? ?sin?DF,n??
5155?33?3,?1,2?，MN???2,?2,0?? ??3,1,?1
?19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若AP?3PB，求|AB|． 【答案】（1）12x?8y?7?0；（2）【解析】 【分析】 （1）设直线l：y=3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交2413. 33x?m，A?x1,y1?，B?x2,y2?；根据抛物线焦半径公式可得x1+x2?1；2联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：x?2y?t；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用AP?3PB3可得y1??3y2，结合韦达定理可求得y1y2；根据弦长公式可求得结果.
3x?m，A?x1,y1?，B?x2,y2? 235由抛物线焦半径公式可知：AF?BF?x1?x2??4 ?x1?x2?
22【详解】（1）设直线l方程为：y=3??y?x?m22联立?得：9x??12m?12?x?4m?0 22??y?3x1 2712m?125?x1?x2???，解得：m??
928则???12m?12??144m2?0 ?m?2?直线l的方程为：y?37x?，即：12x?8y?7?0 282（2）设P?t,0?，则可设直线l方程为：x?y?t
32??x?y?t2联立?得：y?2y?3t?0 32??y?3x1则??4?12t?0 ?t??
3?y1?y2?2，y1y2??3t
AP?3PB ?y11，y1?3 ?y1y2??3 ??3y2 ?y2??2则AB?1?4?9?y1?y2??4y1y2?13413 ?4?12?33【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
20.已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f?(x)在区间(?1,?2)存在唯一极大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
???（1）求得导函数后，可判断出导函数在??1,?上单调递减，根据零点存在定理可判断出
?2????????x0??0,?，使得g??x0??0，进而得到导函数在??1,?上的单调性，从而可证得结论；
?2??2?（2）由（1）的结论可知x?0为f?x?在??1,0?骣p÷?x西0,?上的唯一零点；当?÷时，首先可桫2÷???0,xfx判断出在(0)上无零点，再利用零点存在定理得到??在?x0,?上的单调性，可知
2?????f?x??0，不存在零点；当x??,??时，利用零点存在定理和f?x?单调性可判断出存
?2?在唯一一个零点；当x???,???，可证得f?x??0；综合上述情况可证得结论. 【详解】（1）由题意知：f?x?定义域为：??1,???且f??x??cosx?令g?x??cosx?1 x?1???1，x???1,? x?12?????x??1,? 2，??x?1?2??1?g??x???sinx?1?x?1?2111???????,在??1,在??上单调递减，??1,?上单调递减 an?1an7?2??2???????g??x?在??1,?上单调递减
2又g??0???sin0?1?1?0，g?????sin?22??????4???2?2?4???2?2?1?0
?????x0??0,?，使得g??x0??0
?2?????当x???1,x0?时，g??x??0；x??x0,?时，g??x??0
2??即g?x?????1,x上单调递增；在?0??x0,?上单调递减
2??则x?x0为g?x?唯一的极大值点
???即：f??x?在区间??1,?上存在唯一的极大值点x0.
?2?（2）由（1）知：f??x??cosx?1，x???1,??? x?1①当x???1,0?时，由（1）可知f??x?在??1,0?上单调递增
?f??x??f??0??0 ?f?x?在??1,0?上单调递减
又f?0??0
?x?0为f?x?在??1,0?上的唯一零点
②当x??0,????2??时，f??x?在(0,x0)上单调递增，在?x0,?????上单调递减 2?又f??0??0 ?f??x0??0
?f?x?在(0,x0)上单调递增，此时f?x??f?0??0，不存在零点
?22????f?cos????0 又??2??2??2?2?
2019年高考理科数学试题解析版
