?PA,PB,PC两两垂直，?2R?2?2?2?6，?R?6，
2?V?43466?R????6?，故选D. 338【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y?3(x2?x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________． 【答案】3x?y?0. 【解析】 【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：y?3(2x?1)e?3(x?x)e?3(x?3x?1)e,
/所以，k?y|x?0?3
/x2x2x所以，曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为y?3x，即3x?y?0．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
14.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1?，a4?a6，则S5=____________． 【答案】
2x132121. 3【解析】 【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到
S5．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】设等比数列的公比为q，由已知a1?1211,a4?a6，所以(q3)2?q5,又q?0， 3331(1?35)a(1?q)3121． 所以q?3,所以
S5?1??1?q1?335【点睛】准确计算，是解答此类问题基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛
结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜
的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.216. 【解析】 【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是
0.63?0.5?0.5?2?0.108,
的22前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4?0.6?0.5?2?0.072, 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q?0.108?0.072?0.18.
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
x2y216.已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的
abC的离心率为两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A?AB，F1B?F2B?0，则____________． 【答案】2. 【解析】
【分析】
通过向量关系得到F1A?AB和OA?F1A，得到?AOB??AOF1，结合双曲线的渐近线
0可得?BOF2??AOF1,?BOF2??AOF1??BOA?60,从而由
b?tan600?a3可求
离心率. 【详解】如图，
由F得F1A?AB.又OF1?OF2,得OA是三角形F1F2B的中位线，即1A?AB,BF2//OA,BF2?2OA.由F1BF2B?0，得F1B?F2B,OA?F1A,则OB?OF1有?AOB??AOF1，
又OA与OB都是渐近线，得?BOF2??AOF1,又?BOF2??AOB??AOF1??，得
?BOF2??AOF1??BOA?600,．又渐近线OB的斜率为
线的离心率为e?b?tan600?3，所以该双曲acb?1?()2?1?(3)2?2． aa【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
2217.VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB?sinC)?sinA?sinBsinC．
（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC． 【答案】（1）A?【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2?c2?a2?bc，从而可整理出cosA，根据A??0,??可求得结果；（2）利用正弦定理可得
2sinA?sinB?2siCn，利用
?3；（2）sinC?6?2. 4sinB?sin?A?C?、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函
数关系解方程可求得结果.
【详解】（1）?sinB?sinC??sin2B?2sinBsinC?sin2C?sin2A?sinBsinC 即：sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC 由正弦定理可得：b2?c2?a2?bc
2b2?c2?a21?cosA??
2bc2A??0,π? \\A=（2）
?3
2a?b?2c，由正弦定理得：2sinA?sinB?2sinC
又sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC，A??3
?2?331?cosC?sinC?2sinC 222整理可得：3sinC?226?3cosC
C?sinC?cosC?1 ?3sin解得：sinC??6?3?1s2iCn
?2??6?26?2或 44因
sinB?2sinC?2sinA?2sinC?666?2. ，故sinC??0所以sinC?424（2）法二：2a?b?2c，由正弦定理得：2sinA?sinB?2sinC
又sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC，A??3
?2?331?cosC?sinC?2sinC 222整理可得：3sinC?6?3cosC，即3sinC?3cosC?23sin?C???????6 6???2? ?sin?C???6?2?由C?(0,2????????),C??(?,)，所以C??,C?? 36626446sinC?sin(?4??6)?6?2. 4【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
18.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
10. 5
2019年高考理科数学试题解析版
