整式中求阴影图形面积的数学思想
山东沂源县徐家庄中学 左效平 张俊芳
256116
在整式一章中，经常遇到求图形阴影部分的面积问题。现在特将求图形阴影部分面积的数学思想归纳如下，供同学们学习时参考。 1、运用整体的思想
1．1把分散的图形重新组合成整体
例1、如图1，某正方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆的半径为r米，正方形的边长为a米。 （1）请用代数式表示空地的面积。 （2）若正方形的边长为300米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留π）。 分析：正方形的四个角上的四个扇形，因为它们的半径是相同的，所以，这四个分散的扇形就可以拼成一个半径为r米的整圆。这样，阴影部分的面积就等于正方形的面积减去两个圆的面积。
解：
1、空地的面积为a
2
－πr2（平方米）
2、当a=300，r=10时，广场空地的面积为：90000－100π（平方米）
例2、如图2，四个直角三角形的直角边的长都是a，正方形的边长为a，试用整式表示阴影部分的面积。
分析：图中的四个直角三角形，通过平移、旋转等手段，就可以将四个直角三角形拼成两个边长为a 的正方形，这样阴影部分的面积就等于长方形的面积减去三个正方形的面积。
解：阴影部分的面积为：xy-3a。
1．2 把不完整的图形补成整体
例3、如图3，根据图中的信息，求阴影部分的面积。
分析：这是一个不规则的图形，要想求出阴影部分的面积是不容易计算的。 但是，我们发现这个图形可以通过线段延长的方法，把原来不完整的图形补成一个完整的长方形。这样阴影部分的面积就等于大长方形的面积减去右上角空白长方形的面积。问题解决。 解：如图4，延长线段，把图形补成一个长方形，则空白长方形的长为b-t，宽为a-t， 所以，阴影部分的面积为：ab-（b-t）（a-t）=at+bt-t。
例4、一家住房的结构如图5，所示，房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地板砖，至少需要多少平方米的地板砖？如果这种地板砖的价格为a元/平方米，那么购买地板砖至少需要多少元？
分析：这是一个不规则的图形，阴影部分的面积有三个不同的长方形的面积组成，如果一个一个的去求就会显得很繁琐，但是，我们发现这个图形可以通过线段延长的方法，把原来不完整的图形补成一个完整的长方形。这样阴影部分的面积就等于大长方形的面积减去右上角空白长方形的面积和左上角空白长方形的面积。问题就容易解决。
解：如图6，延长线段，把图形补成一个长方形，则右上角空白长方形的长为2y，宽为2x， 左上角空白长方形的长为y，宽为x，所以，阴影部分的面积为：4x×4y-x×y-2x×2y=11xy平方米，
又因为这种地板砖的价格为a元/平方米，所以购买地板砖至少需要11xya元。
2、运用分割的思想：把不规则的图形分割成几个不同或相同的规则图形。 例5如图7，阴影部分的面积是（ ） A．
2
2
7 xy 2B．
9 xy 2C．4xy
D．2xy
分析：这是一个不规则的图形，但是，我们发现这个图形可以通过线段延长的方法，把原来不完整的图形分割成两个个完整的长方形。这样阴影部分的面积就等于大长方形的面积加上小长方形的面积。问题就容易解决。
解：如图8，延长线段，把图形分割成两个长方形，大长方形的面积为：2y×1.5x=3xy， 小长方形的面积为：y×0.5x=0.5xy，所以，阴影部分的面积为：3xy+0.5 xy=3.5xy 故选A。
3、运用平移的思想：把分散的图形，通过平移重新组合。 例6、如图9，阴影部分的面积是（ ）
分析：这是一个不规则的图形，但是，我们发现这个图形中，上端两个小长方形的长是相同的，所以可以通过平移的方法，把这两个小长方形拼成一个完整的图形，这个图形是一个边长为2a的正方形，这样阴影部分的面积就等于长方形的面积加上正方形的面积。
解：将右上端的长方形平移到左边，得到一个边长2a的正方形，下面长方形的长为2a+3b，宽为b，所以，阴影部分的面积为：（2a）+（2a+3b）×b=4a+2ab+3b
4、运用恒等变形的思想：利用图形变化前后面积不变的思想来解题。
例7、如图11所示，图a，表示的是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，小明将图a的阴影部分拼成了一个矩形，如图b。这一过程可以验证
222222
A.a+b-2ab=(a-b) B.a+b+2ab=(a+b)
2222
C.2a-3ab+b=(2a-b)(a-b) D.a-b=(a+b) (a-b)
a a
b b 图a 图b
(图11)
分析：这是一个面积恒等变形问题。图形可以有不同的表示方式，但是，图形的面积是保持不变的。在图a中，阴影部分的面积为：a-b，而在如图b中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b）， 因为，图形的面积是保持不变，所以，a-b=（a+b）（a-b），因此，这个变形图形验证的是a-b=（a+b）（a-b）。 解：选D。
2
2
2
22
22
2
2
5、运用转化的思想： 把小数转化成整数，便于计算。 例8、如图12，求阴影部分的面积。
分析：仔细观察图形，知道空白长方形的长 3.5a，是个小数，为此，我们不妨采用对称的方法，把原来的图形进行加倍，这样就得到两个长为7a，宽为a的长方形和一个长为11a，宽为6a的长方形，两个面积的差的一半，就是所求阴影部分的面积。
解：整个阴影部分的面积为：11a×6a-7a×a×2=52a；
2
2
所以，所求阴影部分的面积为26 a。 6、方程的思想
例9、如右图14，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？
解析：真正清楚长方形的长、宽和大正方形、小正方形的边长的关系是问题解决的关键。数形结合的思想是解决问题的基础。从图形中可以看出大正方形是长方形的长与宽的和，小正方形的边长是长方形的长与宽的差。 解：设长方形的长是x米，宽是y米， 根据题意，得：（x+y）=64，（x-y）=9， 所以，x+y=8，x-y=3，
2
2
115，y=； 22115因此，长方形的长是米，宽是米。
22解得：x=
2024秋人教版七年级数学上册 2.2素材 整式中求阴影图形面积的数学思想
