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数论
数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.
本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.
专题回顾
【例 1】 一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数． 【分析】 现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性
质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手． 5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989．
【例 2】 已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与
一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________.
【分析】 本题综合利用数论知识，因为AB是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方
数，则符合条件的数仅为16、36，当B?1时，满足AB是一个质数的数有11，31，41，61，71，时，此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；
当B?3，满足AB是一个质数的数有13，23，43，53，73，83，此时同时保证CA是一个质
数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合．
专题精讲 分解质因数 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a?b?c?d，若a、b、c、d都是质数，则a?b?c?d的最小值是
多少？
【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这2001个连续自然数中最小的一个是A，则
最大的一个是A?2000(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是： ?A?A?2000?2001??A?1000??2001??A?1000??3?23?29，则?A?1000?是质数，所以A的
2最小值是9．a?b?c?d的最小值是：1009?3?23?29?1064.
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［拓展］ 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______． ［分析］ 设这101个自然数中最小的数为a，则101个连续自然数的和为： a+(a+1)+(a+2)+……+(a+100)
=(a+a+100)×101?2=(a+50)×101
因为101是质数，所以a+50必须是3个质数的乘积，要使和最小． 经检验a+50=66=2×3×11最小，所以和最小为66×101=6666．
［铺垫］ 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么
四位数〇△□☆是多少？
［分析］ 因为□△□△□△?□△?10101，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇
×☆△?10101．作质因数分解得10101?3?7?13?37，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有21?13?37．注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．
【例 2】 N为自然数，且N?1，N?2、……、N?9与690都有大于l的公约数．N的最小值为_______． 【分析】 690?2?3?5?23，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，
如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数． 所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则N?1、N?3、N?5、N?7、N?9是偶数，剩下的4个数中N?2、N?8是3的倍数（5个偶数当中只有N?5是3的倍数），还有N?4、N?6一个是5的倍数，一个是23的倍数.
剩下的可以用中国剩余定理求解，N?5是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然N?5?24是最小解，所以N的最小值为19．
约数、倍数 【例 3】 已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲
乙两数的乘积为多少?和为多少?
【分析】 设甲乙两个数为4x，4y，(x和y都不等于1或72),则x，y两数互质，于是4x，4y的最小公
288倍数为4xy，所以xy??72，72?23?32，由于x，y互质，所以2或3不可能在x，y的因
4子中都出现，所以x，y一个是8一个是9，所以两数的乘积等于4y?4x?4?4xy?1152，和为
4x?4y?4??8?9??68.
【例 4】 有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这
个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．
【分析】 ⑴首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对．不然，其中说的不对的编号乘
以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合．因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除． 其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对．从而可以断定说的不对的编号只能是8和9．
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⑵这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数， 由于上述十二个数的最小公倍数是60060，
因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．
［拓展］ 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？ ［分析］ 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9，由于9是1个奇数，所以
这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数．于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．
约数个数定理：
设自然数n的质因子分解式如p1a1p2a2p3a3Lpnan.
那么n的约数个数为d?n???a1?1??a2?1??a3?1?L?an?1?
a1a1?1a221自然数n的约数和为S?n??P?L?P?P2a2?1?L?P22?P21?1L 1?P11?P1?1P2????
LPnan?Pnan?1?L?Pn2?Pn1?1
【例 5】 两数乘积为2800，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是
___________、___________．
【分析】 2800?24?52?7，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，所以这两个数中有一个数
的约数为奇数个，这个数为完全平方数．故这个数只能为22、24、52、22?52或24?52．经检验，只有两数分别为24和52?7时符合条件，所以这两个数分别是16和175．
［铺垫］ 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？ ［分析］ 9?1?9?3?3，
所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方， 或者两个不同质数的平方的乘积，
前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合条件有100、196、484、676、225、441, 所以符合条件的有7个.
【例 6】 两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，
C?D?187，那么A?B等于多少？
【分析】 最大公约数C，当然是最小公倍数D的约数，因此C是187的约数，187?11?17，C不等于1，
只能是C?11或者C?17．如果C?11，那么D?187?11?176．A和B都是176的约数，A和B不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C不能是11．现在考虑C?17，那么D?187?17?170，A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A和B分别是34和85，A?B?34?85?119．
【例 7】 已知A是一个有12个约数的合数，8A、10A有24个约数，12A有40个约数，求15A有多少个
约数？
【分析】 设A?2a?3b?5c?d，d中不含有2、3、5因子，
那么A的约数个数有?a?1??b?1??c?1?N?12LLLL①(其中N为d的约数个数)
??a?4?2,于是a?2， a?1c?23 10A的约数个数为?a?2??b?1??c?2?N?4?b?1??c?2?N?24，与①比较?，于是c?1，
c?12b?2 ?2，于是b?0，12A的约数个数为?a?3??b?2??c?1?N?10?b?2?N?40，与①比较得到
b?18A的约数个数为?a?4??b?1??c?1?N?24，与①比较得到
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将a、b、c代入①得到N?2，15A的约数个数为?a?1??b?2??c?2?N?36.
［铺垫］已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数. ［分析］ 将A分解，A?2B，其中B是奇数，它的约数的个数为?1?1?N?12，(其中N为B的约数个数)，
则4A的约数个数为?1?3?N?24.
【例 8】 要使12m?9n这个积是65的倍数，并要使m?n最小，则m?___,n?___． 【分析】 分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示．关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学
的知识点：质因数的唯一分解式：
a?p1b1?p2b2?p3b3?...?pnbn?p1,p2...pn为质因数，b1,b2...,bn为自然数?
则12m?9n?22m?3m?2n是65?25?35的倍数，
?2m?5?m?3m?nm,n为整数则得到?，使最小，则． ???m?2n?5n?1??
完全平方数 【例 9】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【分析】 完全平方数，所有质因数必成对出现．
72?23?32?2?6?6，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍， 2?31?31?1922?2008?2?32?32?2048，共31个．
［铺垫］有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最 小值为_____． ［分析］ 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技
巧．设中间数是x,则它们的和为5x, 中间三数的和为3x．5x是平方数，设5x?52?a2,则x?5a2．3x?15a2?3?5?a2是立方数，所以a2至少含有3和5的质因数各2个, a2至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．
【例10】 志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)
【分析】 五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为A2，
一二年级的学生人数为B2，则153??A?B??A?B?，而153?3?3?17，所以，?A?B?与?A?B?可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A和B的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以A?27，B?24为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为729?576?676?1981人.
［铺垫］能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ ［分析］ 假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2，那么这两个完全平方数的差为
54??A?B??A?B?，由于?A?B?和?A?B?的奇偶性质相同，所以?A?B??A?B?不是4的倍数，
就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.
【例11】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52?32,16就是
一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_______．
【分析】 a2?b2=?a?b??a?b?．因为?a?b?与?a?b?同奇同偶， 所以“智慧数”是奇数或是4的倍数．
对于任何大于1的奇数2n?1(n?1)，当a?n?1，b?n时，都有a2?b2=(n?1)2?n2=2n?1．
即任何大于1的奇数都是“智慧数”．
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对于任何大于4的4的倍数4n(n?2)，当a?n?1，都有a2?b2=(n?1)2?(n?1)2=4n． b?n?1时，
即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”．除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除的
33偶数，“智慧数”约占全部正整数的．2003??2671，为2672?4?668，加上1和4这两个非
44“智慧数”，在1～2672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672－670=2002(个)．所以第2003个“智慧数”是2673．
【例12】 （20XX年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个
平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）．
【分析】 （法一）设这两个数分别是a和a?14，则a2与?a?14?两个数的末两位相同，即a2与
2?a2?28a?196?的末两位相同，所以?28a?196?是100的倍数，a个位只能是3或8．先设
则28a?196?280k?280，当k?4，9时满足条件，但k?9时较大的两位数大于100a?10k?3，
不合题意．再设a?10k?8，可求得k?1，6时满足条件．
所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案．
（法二）所以?a?7?是 ?a?14??a2??a?14?a??a?14?a??28?a?7?,28?a?7?是100的倍数， 25的倍数，符合条件的a只有18、43、68．
2巩固精练 1． 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然
数为_______，这三个连续自然数为_______．
【分析】 132?142?365， 所以这两个连续自然数为13、14，102?112?122?365，所以这三个连续自然
数为10、11、12．
2． 有n个自然数相加：1?2?3?L?n?aaa (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么
n?__________．
n(n?1)【分析】 1?2?3?L?n??aaa，n(n?1)?2aaa?2?111?a?2?3?37?a，由于a是个一位数，
2n与n?1是两个相邻的整数，只有当a?6，n?36时满足题意，所以所求的n为36．
3． 已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数，5A有多少个约数？ 【分析】 设A?3a5bB，有?a?1??b?1?N?12个约数，(N为B的约数个数)，于是9A有?a?3??b?1?N?24个约数，所以a?1，15A有3?b?2?N?36个约数，由此求得b?0，N?6，所以5A有
?a?1??b?2?N?4N?24个约数.
A、B两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知A有12个约数，B有8个约
数，那么A?B?______．
【分析】 18?21?32，A、B至少含有两个3和一个2．因为A有12个约数，12?1?12?2?6?3?4，所
以A可能是21?35、23?32或22?33，B有8个约数，8?1?8?2?4，所以B?21?33，于是A只能是23?32，故A?B?23?32?21?33?126．
5． 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那
么最少要分几组?
【分析】 本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质，相当于它们的
质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数
4．
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