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数论
数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密,但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视.本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.
本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍数部分,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.
专题回顾
【例 1】 一个5位数,它的各位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数. 【分析】 现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性
质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手. 5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989.
【例 2】 已知ABCA是一个四位数,若两位数AB是一个质数,BC是一个完全平方数,CA是一个质数与
一个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数是_____________.
【分析】 本题综合利用数论知识,因为AB是一个质数,所以B不能为偶数,且同时BC是一个完全平方
数,则符合条件的数仅为16、36,当B?1时,满足AB是一个质数的数有11,31,41,61,71,时,此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有3163符合;
当B?3,满足AB是一个质数的数有13,23,43,53,73,83,此时同时保证CA是一个质
数与一个不为1的完全平方数之积,只有8368符合.
专题精讲 分解质因数 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a?b?c?d,若a、b、c、d都是质数,则a?b?c?d的最小值是
多少?
【分析】 遇到等量关系的表述时,先将其转化为数学语言.设这2001个连续自然数中最小的一个是A,则
最大的一个是A?2000(遇到多个连续自然数问题,转化时一般均采用假设法,自己需要的量,题目中没有时,可以设未知数),则它们的和是: ?A?A?2000?2001??A?1000??2001??A?1000??3?23?29,则?A?1000?是质数,所以A的
2最小值是9.a?b?c?d的最小值是:1009?3?23?29?1064.
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[拓展] 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积,那么这个最小的和应该是_______. [分析] 设这101个自然数中最小的数为a,则101个连续自然数的和为: a+(a+1)+(a+2)+……+(a+100)
=(a+a+100)×101?2=(a+50)×101
因为101是质数,所以a+50必须是3个质数的乘积,要使和最小. 经检验a+50=66=2×3×11最小,所以和最小为66×101=6666.
[铺垫] 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△,其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字,那么
四位数〇△□☆是多少?
[分析] 因为□△□△□△?□△?10101,所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇
×☆△?10101.作质因数分解得10101?3?7?13?37,由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有21?13?37.注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现,所以△□=13,□〇=37,☆△=21.即〇=7,△=1,□=3,☆=2,所求的四位数是7132.
【例 2】 N为自然数,且N?1,N?2、……、N?9与690都有大于l的公约数.N的最小值为_______. 【分析】 690?2?3?5?23,连续9个数中,最多有5个是2的倍数,也有可能有4个是2的倍数,
如果有5个连续奇数,这5个连续奇数中最多有2个3的倍数,1个5的倍数,1个23的倍数,所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数,即与690没有大于l的公约数. 所以9个数中只有4个奇数,这个数中,有2个3的倍数,1个5的倍数,1个23的倍数,则N?1、N?3、N?5、N?7、N?9是偶数,剩下的4个数中N?2、N?8是3的倍数(5个偶数当中只有N?5是3的倍数),还有N?4、N?6一个是5的倍数,一个是23的倍数.
剩下的可以用中国剩余定理求解,N?5是2和3的倍数,且相邻两个数中一个是23的倍数,另一个是5的倍数,显然N?5?24是最小解,所以N的最小值为19.
约数、倍数 【例 3】 已知,甲乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是4,甲乙两数不是288和4中的数,那么甲
乙两数的乘积为多少?和为多少?
【分析】 设甲乙两个数为4x,4y,(x和y都不等于1或72),则x,y两数互质,于是4x,4y的最小公
288倍数为4xy,所以xy??72,72?23?32,由于x,y互质,所以2或3不可能在x,y的因
4子中都出现,所以x,y一个是8一个是9,所以两数的乘积等于4y?4x?4?4xy?1152,和为
4x?4y?4??8?9??68.
【例 4】 有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说:“这
个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:⑴说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?⑵如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数.
【分析】 ⑴首先可以断定编号是2,3,4,5,6,7号的同学说的一定都对.不然,其中说的不对的编号乘
以2后所得编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合.因此,这个数能被2,3,4,5,6,7都整除. 其次利用整除性质可知,这个数也能被2×5,3×4,2×7都整除,即编号为10,12,14的同学说的也对.从而可以断定说的不对的编号只能是8和9.
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⑵这个数是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍数, 由于上述十二个数的最小公倍数是60060,
因为60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的数就是60060.
[拓展] 一个两位数有6个约数,且这个数最小的3个约数和为10,那么此数为几? [分析] 最小的三个约数中必然包括约数1,除去1以外另外两个约数和是9,由于9是1个奇数,所以
这两个约数的奇偶性质一定是相反的,其中一定有一个是偶数,如果一个数包含偶约数,那么它一定是2的倍数,即2是它的约数.于是显然的,2是这个数第二小的约数,而第三小的约数是7,所以这个两位数是14的倍数,由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是14或98,其中有6个约数的是98.
约数个数定理:
设自然数n的质因子分解式如p1a1p2a2p3a3Lpnan.
那么n的约数个数为d?n???a1?1??a2?1??a3?1?L?an?1?
a1a1?1a221自然数n的约数和为S?n??P?L?P?P2a2?1?L?P22?P21?1L 1?P11?P1?1P2????
LPnan?Pnan?1?L?Pn2?Pn1?1
【例 5】 两数乘积为2800,而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1,那么这两个数分别是
___________、___________.
【分析】 2800?24?52?7,由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1,所以这两个数中有一个数
的约数为奇数个,这个数为完全平方数.故这个数只能为22、24、52、22?52或24?52.经检验,只有两数分别为24和52?7时符合条件,所以这两个数分别是16和175.
[铺垫] 在三位数中,恰好有9个约数的数有多少个? [分析] 9?1?9?3?3,
所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方, 或者两个不同质数的平方的乘积,
前者在三位数中只有256符合条件,后者中符合条件有100、196、484、676、225、441, 所以符合条件的有7个.
【例 6】 两个整数A、B的最大公约数是C,最小公倍数是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B,
C?D?187,那么A?B等于多少?
【分析】 最大公约数C,当然是最小公倍数D的约数,因此C是187的约数,187?11?17,C不等于1,
只能是C?11或者C?17.如果C?11,那么D?187?11?176.A和B都是176的约数,A和B不能是11,只能是22,44,88,176这四个数中的两个,但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11,由此得出C不能是11.现在考虑C?17,那么D?187?17?170,A和B是170的约数,又要是17的倍数,有34,85,170三个数,其中只有34和85的最大公约数是17,因此,A和B分别是34和85,A?B?34?85?119.
【例 7】 已知A是一个有12个约数的合数,8A、10A有24个约数,12A有40个约数,求15A有多少个
约数?
【分析】 设A?2a?3b?5c?d,d中不含有2、3、5因子,
那么A的约数个数有?a?1??b?1??c?1?N?12LLLL①(其中N为d的约数个数)
??a?4?2,于是a?2, a?1c?23 10A的约数个数为?a?2??b?1??c?2?N?4?b?1??c?2?N?24,与①比较?,于是c?1,
c?12b?2 ?2,于是b?0,12A的约数个数为?a?3??b?2??c?1?N?10?b?2?N?40,与①比较得到
b?18A的约数个数为?a?4??b?1??c?1?N?24,与①比较得到
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将a、b、c代入①得到N?2,15A的约数个数为?a?1??b?2??c?2?N?36.
[铺垫]已知偶数A不是4的整数倍,它的约数的个数为12,求4A的约数的个数. [分析] 将A分解,A?2B,其中B是奇数,它的约数的个数为?1?1?N?12,(其中N为B的约数个数),
则4A的约数个数为?1?3?N?24.
【例 8】 要使12m?9n这个积是65的倍数,并要使m?n最小,则m?___,n?___. 【分析】 分析题意,为同一个数可以由两种乘积的形式表示.关于因数乘积表示形式,类比联系我们所学
的知识点:质因数的唯一分解式:
a?p1b1?p2b2?p3b3?...?pnbn?p1,p2...pn为质因数,b1,b2...,bn为自然数?
则12m?9n?22m?3m?2n是65?25?35的倍数,
?2m?5?m?3m?nm,n为整数则得到?,使最小,则. ???m?2n?5n?1??
完全平方数 【例 9】 从1到2008的所有自然数中,乘以72后是完全平方数的数共有多少个? 【分析】 完全平方数,所有质因数必成对出现.
72?23?32?2?6?6,所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍, 2?31?31?1922?2008?2?32?32?2048,共31个.
[铺垫]有5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则这五个数中最小数的最 小值为_____. [分析] 考查平方数和立方数的知识点,同时涉及到数量较少的连续自然数问题,设未知数的时候有技
巧.设中间数是x,则它们的和为5x, 中间三数的和为3x.5x是平方数,设5x?52?a2,则x?5a2.3x?15a2?3?5?a2是立方数,所以a2至少含有3和5的质因数各2个, a2至少是225,中间的数至少是1125.最小数的最小值为1123.
【例10】 志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人,但比五六年级的学生人数少53人,已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数,那么志诚中学总的学生人数有多少人?(请写出最现实的答案)
【分析】 五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数,所以可以设五六年级的学生人数为A2,
一二年级的学生人数为B2,则153??A?B??A?B?,而153?3?3?17,所以,?A?B?与?A?B?可能为153和1;17和9;51和3,由这三个答案得到的A和B的值分别为:77和76,13和4,27和24,显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实,所以A?27,B?24为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人,一二年级的学生人数为576人,三四年级的学生人数为676,学校的总人数为729?576?676?1981人.
[铺垫]能否找到这么一个数,它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数? [分析] 假设能找到,设这两个完全平方数分别为A2、B2,那么这两个完全平方数的差为
54??A?B??A?B?,由于?A?B?和?A?B?的奇偶性质相同,所以?A?B??A?B?不是4的倍数,
就是奇数,所以54不可能等于两个平方数的差,所以这样的数找不到.
【例11】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个数为“智慧数”,比如16=52?32,16就是
一个“智慧数”,那么从1开始的自然数列中,第2003个“智慧数”是_______.
【分析】 a2?b2=?a?b??a?b?.因为?a?b?与?a?b?同奇同偶, 所以“智慧数”是奇数或是4的倍数.
对于任何大于1的奇数2n?1(n?1),当a?n?1,b?n时,都有a2?b2=(n?1)2?n2=2n?1.
即任何大于1的奇数都是“智慧数”.
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对于任何大于4的4的倍数4n(n?2),当a?n?1,都有a2?b2=(n?1)2?(n?1)2=4n. b?n?1时,
即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”.除了1和4以外,非“智慧数”都是不能被4整除的
33偶数,“智慧数”约占全部正整数的.2003??2671,为2672?4?668,加上1和4这两个非
44“智慧数”,在1~2672中共有非“智慧数”668+2=670(个),有“智慧数”2672-670=2002(个).所以第2003个“智慧数”是2673.
【例12】 (20XX年清华附中入学考试题)有两个两位数,它们的差是14,将它们分别平方,得到的两个
平方数的末两位数(个位数和十位数)相同,那么这两个两位数是 (请写出所有可能的答案).
【分析】 (法一)设这两个数分别是a和a?14,则a2与?a?14?两个数的末两位相同,即a2与
2?a2?28a?196?的末两位相同,所以?28a?196?是100的倍数,a个位只能是3或8.先设
则28a?196?280k?280,当k?4,9时满足条件,但k?9时较大的两位数大于100a?10k?3,
不合题意.再设a?10k?8,可求得k?1,6时满足条件.
所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案.
(法二)所以?a?7?是 ?a?14??a2??a?14?a??a?14?a??28?a?7?,28?a?7?是100的倍数, 25的倍数,符合条件的a只有18、43、68.
2巩固精练 1. 两个连续自然数的平方和等于365,又有三个连续自然数的平方和等于365,则这两个连续自然
数为_______,这三个连续自然数为_______.
【分析】 132?142?365, 所以这两个连续自然数为13、14,102?112?122?365,所以这三个连续自然
数为10、11、12.
2. 有n个自然数相加:1?2?3?L?n?aaa (和恰好是三个相同数字组成的三位数),那么
n?__________.
n(n?1)【分析】 1?2?3?L?n??aaa,n(n?1)?2aaa?2?111?a?2?3?37?a,由于a是个一位数,
2n与n?1是两个相邻的整数,只有当a?6,n?36时满足题意,所以所求的n为36.
3. 已知A有12个约数,9A有24个约数,15A有36个约数,5A有多少个约数? 【分析】 设A?3a5bB,有?a?1??b?1?N?12个约数,(N为B的约数个数),于是9A有?a?3??b?1?N?24个约数,所以a?1,15A有3?b?2?N?36个约数,由此求得b?0,N?6,所以5A有
?a?1??b?2?N?4N?24个约数.
A、B两数都只含有质因数3和2,它们的最大公约数是18.已知A有12个约数,B有8个约
数,那么A?B?______.
【分析】 18?21?32,A、B至少含有两个3和一个2.因为A有12个约数,12?1?12?2?6?3?4,所
以A可能是21?35、23?32或22?33,B有8个约数,8?1?8?2?4,所以B?21?33,于是A只能是23?32,故A?B?23?32?21?33?126.
5. 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数为1.那
么最少要分几组?
【分析】 本题是一道关于最大公约数的问题.我们知道两个数的最大公约数为1,即互质,相当于它们的
质因数分解式中没有相同的质因数.这就提示我们将题目所给的数字质因数分解.将题目中的数
4.
六年级奥数最详细全面数论教师版
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