精锐教育学科教师辅导讲义
年 级： 高 一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性 1.理解函数的概念；理解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），了解映射的概念． 2.理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数． 教学目3.理解和熟记函数的单调性和最值的定义； 的 4.掌握求解函数的值域和最值的基本方法，并能解决与函数值域和最值有关的问题． 5.理解和熟记函数的奇偶性和周期的定义； 6.掌握判定函数的奇偶性和周期性的基本方法，并能解决与函数奇偶性和周期性有关的问题． 教学内容 教材回归 ◎基础重现： 1．函数的概念： 设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对集合A中的 元素 ，在集合B中都有 的元素 和它对应，那么称 为从集合A到集合B的一个函数，记作： ， ．其中 叫做函数 的定义域；将所有 叫做函数的值域． 2．函数的相等 函数的定义含有三个要素： 、 和 ．当函数的定义域及对应法则确定后，函数的值域也随之确定．因此，定义域和对应法则是函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的 和 都分别对应相同时，两个函数才是同一个函数． 3．映射的定义 设A、B两个非空集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有 的元素与之对应，那么，这样的对应关系叫做集合A到集合B的映射，记作： ． 4．函数的表示法 （1）解析法： ； （2）列表法： ； （3）图象法： ． 5．函数的定义域： （1）函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式 的取值范围． （2）实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的 ． 6．函数的值域： 当函数的自变量取遍定义域中 所有值时叫做函数的值域． 求函数值域主要有以下一些方法： （1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接 求得值域，有时也称为 ； （2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题常用 求值域； （3）分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用 求值域； （4）单调函数常根据函数的 求得值域； （5）很多函数可拆配成基本不等式的形状，利用 求值域； （6）对于一些较复杂的函数,可运用 求值域. 7．函数单调性的定义： （1）一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当 时，都有 〔或都有 〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）； （2）如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有单调性，这一区间叫做f（x）的 ；如函数是增函数则称区间为 ，如函数为减函数则称区间为 ． 8．对于给定区间上的函数 ，如果对于属于这个区间的任意自变量 ，都有 （ ），则 叫做函数在此区间上的最 值． 9．奇、偶函数的定义： 对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有 （或 ），则称f（x）为奇函数；对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有 （或），则称f（x）为偶函数． 10．周期函数的定义： f(x)是定义在R上的函数，如果存在非零常数T，使得对任意的x都有 ，则称f（x）是R上的周期函数，T称为f（x）的一个周期．如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是 ． 11．奇、偶函数的性质： （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于 对称）； （2）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称． 思维升华： 1．函数 的图象与直线 的交点个数为 ． 2．我们知道：若f(x)定义域为[a，b]，复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a，b]，则f(x)定义域相当于x∈[a，b]时g(x)的值域；那么，（1）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为__________；（2）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________． 2．你对函数 的单调性质熟悉吗？试着说说看! 基础自测 1．设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的是 ．(填序号)． 2．若 ． 3．（2010·东海期末）函数 的值域是_________． 4．函数 的定义域是 ，值域是 ． 5．（2010·北京卷改编）给定函数① ，② ，③ ，④ ，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 6．(2010·江苏省百校联考)若函数f(x)=x2+ax，x∈[1，3]是单调函数，则实数a的取值范围是___ __ 7．（2010·江苏高考题）设函数 是偶函数，则实数 ____． 8．( 2010·南京市高三第一次调研)定义在R上的奇函数 ，当 ∈（0，+∞）时， ，则不等式
函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性
