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1．(2012·西安调研)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3 f(x) 3.1 0.1 －0.9 －3 那么函数f(x)一定存在零点的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞) 解析：选B.由表格可得f(1)·f(2)<0.
2．偶函数f(x)在[0，a](a>0)上是连续的单调函数，且f(0)·f(a)<0，则函数f(x)在[－a，a]内根的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．0
解析：选B.在[0，a]内f(0)·f(a)<0且单调，只有一个零点，根据偶函数的性质可知在[－a,0]也有一个零点，所以f(x)在[－a，a]有2个零点． 3．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是________．
解析：方程x2－3x－4＝0的解是4和－1，所以函数的零点是4，－1. 答案：4，－1
4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解有________个．
解析：在同一坐标系中画出y＝2x与y＝x＋2的图像如图所示．
由图像可知y＝2x与y＝x＋2有两个交点，故方程2x－x－2＝0在实数范围内有两解． 答案：2
[A级 基础达标]
1．已知函数f(x)在区间[5,6]上是连续的且有f(5)·f(6)<0，则f(x)在区间(5,6)内( ) A．恰好有一个零点 B．有两个零点
C．至少有一个零点 D．不一定存在零点
解析：选C.结合零点分析法，f(x)在[5,6]上连续，且f(5)·f(6)<0，可知函数f(x)在[5,6]内至少有一个零点，故选C.
2．函数y＝2x2－4x－3的零点个数是( ) A．0 B．1
C．2 D．不能确定 解析：选C.函数y＝2x2－4x－3为二次函数，其相应方程的根的判断式Δ＝(－4)2－4×2×(－3)>0，所以函数的图像与x轴有两个交点，即函数有两个零点，选C. 3．(2010·高考天津卷)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
15－
解析：选B.f(－1)＝21＋3×(－1)＝－3＝－<0，f(0)＝20＋3×0＝1>0.
22
∵y＝2x、y＝3x均为单调增函数， ∴f(x)在(－1,0)内有一零点．
x2－4
4．函数f(x)＝的零点是________．
x－2
解析：令x2－4＝0，∴x＝2或x＝－2且x≠2. 答案：－2
1
5．函数f(x)＝x＋的零点个数为________．
x
解析：当x>0时，f(x)>0，
当x<0时，f(x)<0，∴f(x)＝0无解． 答案：0
6．求证：方程5x2－7x－1＝0的实数解一个在区间(－1,0)内，另一个在区间(1,2)内． 证明：设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0. 又二次函数f(x)＝5x2－7x－1的图像在区间[－1,0]和[1,2]上是连续曲线，所以f(x)在区间(－1,0)和(1,2)内分别有一个零点，即方程5x2－7x－1＝0的实数解一个在区间(－1,0)内，另一
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个在区间(1,2)内．
[B级 能力提升]
7．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：
选C.函数y＝|x－2|与函数y＝lnx的图像如图所示，有两个不同的交点，则函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内有2个零点，故应选C.
8．由表格中的数据可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为( )
x －1 0 1 2 3 xe 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 A.0 B．1 C．2 D．3
解析：选B.若k＝0，区间为(0,1)，f(x)＝ex－(x＋2)，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0， 若k＝1，区间为(1,2)，f(2)＝7.39－4>0，即有f(1)·f(2)<0.
x
9．(创新题)某同学在研究函数f(x)＝(x∈R)时，分别给出下面几个结论：
1＋|x|
①等式f(－x)＋f(x)＝0对x∈R恒成立； ②函数f(x)的值域为(－1,1)；
③若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；
④函数g(x)＝f(x)－x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上)
解析：本题考查函数的性质的综合应用，易知f(x)在R上是奇函数且是增函数，所以①，③正确；
1
当x>0时，f(x)＝1－，所以f(x)∈(0,1)，
x＋1
所以x∈R时，函数f(x)的值域为(－1,1)，所以②正确；对于④，g(x)在R上只有一个零点x＝0，故④错误． 答案：①②③
10．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，方程ax2－x－1＝0即为－x－1＝0，解得x＝－1，不满足题意；
当a≠0时，方程ax2－x－1在(0,1)内恰有一解，即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内恰有一零点， 则f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2. 故a的取值范围为(2，＋∞)．
11．如果函数f(x)＝ax＋b(b≠0)的零点为－2，求函数g(x)＝bx2＋2ax的零点． 解：由函数f(x)＝ax＋b(b≠0)的零点为－2， 得x＝－2是方程ax＋b＝0(b≠0)的根． 则－2a＋b＝0，b＝2a，
∴g(x)＝bx2＋2ax＝2ax2＋2ax(a≠0)， 令g(x)＝0，解得x＝0或x＝－1.
故函数g(x)＝bx2＋2ax的零点是0或－1.
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