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高中抽象函数的基本性质
作者：王红博
来源：《考试周刊》2013年第102期
（宜春市第三中学，江西 宜春 336000）
摘 要： 抽象函数集函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、对称性、周期性和图像等性质于一身，题型丰富多样，方法灵活巧妙，是高考的常客.学生在解决这类问题时，往往会感觉无从下手，思路受阻，尤其是高一新生，答题正确率很低.作者就抽象函数这类问题，根据高一学生的学习情况和学习特点，谈谈对抽象函数的看法. 关键词： 抽象函数 高一新生 函数性质
对于刚刚步入高中的新生而言，在各科学习中，以数学学习为最难，而数学中又以函数为最难，而函数中又以抽象函数最为难.学生普遍感觉抽象函数实在是太“抽象”了，无法捕捉住它的性质和特点规律，解题是往往会感觉无从下手，障碍重重.本文将从七个方面对抽象函数进行分析，概括高一阶段对常考的抽象函数的一些基本性质和基本题型. 一、定义域
解决抽象函数的定义域问题，一定要明确定义域的含义，通常采用等价转换的方法予以解决.
例1：若函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（x+1）的定义域为？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇.
分析：因为f（x）的定义域为（0，1），所以x+1整体的范围也为（0，1），从而x∈（-1，0），所以函数f（x++1）的定义域为（-1，0）.
例2：若函数f（x+1）的定义域为（0，1），则函数f（x）的定义域为？摇？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇.
分析：因为f（x+1）的定义域为（0，1），所以x+1整体的范围也为（1，2），所以函数f（x）的定义域为（1，2）. 二、值域
解决抽象函数的值域问题，通常抓住函数的定义域和对应法则，进而确定值域，有时也可借助图像的平行移动进行分析.
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例3：若函数f（x）的值域为（0，1），则函数f（x+1）的值域为？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇.
分析：（法1）因为函数f（x）的x与函数f（x+1）的x+1的范围是一样的，且对应法则也相同，所以函数f（x+1）的值域也是（0，1）.
（法2）将f（x）的函数图像水平向左移动1个单位，会得到函数f（x+1）的图像，因此函数的值域相同. 三、解析式
观察条件中变量的形式，寻找关联性，采用赋值等形式建立方程组，从而解出解析式. 例4：若函数f（x）满足：f（x）+2f（■）=x，则函数f（x）的解析式为？摇？摇？摇？摇？摇 ？摇？摇.
分析：在f（x）+2f（■）=x中，以■代替x，得到f（■）+2f（x）=■，建立方程组 f（x）+2f（■）=xf（■）+2f（x）=■，解得f（x）=■-■. 四、利用某些函数为背景，类比迁移
某些抽象函数可以寻找出相应的初等函数作为背景，从而起到启发思维的作用，进而成功地解决函数的单调性、奇偶性等性质.
幂函数：f（xy）=f（x）f（y） 正比例函数：f（x+y）=f（x）+f（y） 指数函数：f（x+y）=f（x）+f（y） 对数函数：f（xy）=f（x）+f（y）
例5：若函数f（x）满足以下条件：①当x>0时，f（x）>0；②对任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，试判断函数f（x）的单调性.
分析：（这类抽象函数，可以用正比例函数为背景，如f（x）=x，启发思维.） 任取x■，x■∈R，且x■
因为x■-x■>0，所以f（x■-x■）>0，故-f（x■-x■） 五、对称性、周期性 1.对称性重要结论
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（1）y=f（-x）与y=f（x）的图像关于y轴对称； （2）y=-f（x）与y=f（x）的图像关于x轴对称； （3）y=-f（-x）与y=f（x）的图像关于原点对称；
（4）若f（m+x）=f（m-x）恒成立，则y=f（x）的图像关于直线x=m对称； （5）若f（a+x）=f（b-x），对任意x∈R恒成立，则y=f（x）的图像关于x=■对称. 2.周期性重要结论
（1）对于非零常数A，若函数y=f（x）满足f（x+A）=-f（x），则函数y=f（x）必有一个周期为2A；
（2）对于非零常数A，函数y=f（x）满足f（x+A）=±■，则函数y=f（x）的一个周期为2A；
（3）函数y=f（x）有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，T=2|a-b|. 高一数学教材知识量比起初中明显增加，理论性明显增强，尤其是抽象函数内容，对理解要求很高，不动一番脑子，就难以掌握知识间的内在联系和区别.所以，对于高一新生而言，在学习这一块内容时，一定要多学多练多想多问，这样，才能更好地掌握抽象函数的常见性质及基本解题思路和方法. 参考文献：
[1]蔡亲鹏.数学教育学.浙江：浙江大学出版社，2008.10.01. [2]郑晓玲.教材完全解读.南宁：接力出版社，2011.9. [3]邱家福.高考调研.石家庄：河北教育出版社，2010.3.
高中抽象函数的基本性质
