2013年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）
（1）已知f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在(0,??)上递增，则
（A）f(2)?f(?log25)?f(?3) (B) f(?3)?f(2)?f(?log25) (C) f(?3)?f(?log25)?f(2) (D) f(2)?f(?3)?f(?log25) （2）已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0???相邻两个零点的距离为
0.70.70.70.7?2)的图象经过点B(??6,0)，且f(x)的
?，为得到y?f(x)的图象，可将y?sinx图象上所有点 21?（A）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
231? (B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
23?(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
3?(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
3（3）如图，在A,B,C,D,E五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为 （A）21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数f(x)在R上存在导数f?(x)，对任意的x?R，有
f(?x)?f(x)?x2，且在(0,??)上f?(x)?x．若
f(2?a)?f(a)?2?2a，则实数a的取值范围为
（A）[1,??) (B) (??,1] (C) (??,2] (D) [2,??) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
x2y2??1的一个焦点，则双曲线的渐 （5）已知抛物线y?2px(p?0)的焦点是双曲线8p2近线方程为 ．
????????（6）设点O在?ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且OD?2DE?1， ????????????则OA?2OB?3OC? ．
（7）设曲线y?2x?x2与x轴所围成的区域为D，向区域D内随机投一点，则该点落
22入区域{(x,y)?Dx?y?2}内的概率为 ．
(8)如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD与OE垂直，垂足是D，割线EC交圆O于B,C，且
?ODC??,?DBC??，
则?OEC? （用?,?表示）．
三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （9）（本小题满分13分）
在?ABC中，三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c．
已知(a?c)(sinA?sinC)?(a?b)sinB．
（1）求角C的大小； （2）求sinA?sinB的最大值． （10）（本题满分13分）
x2y23?1(a?2)的离心率为设椭圆2?，斜率为k的直线l过点E(0,1)且与椭圆交于
3a4????????（1）求椭圆方程；（2）若直线l与x轴相交于点G，且GC?DE，求k的值； C,D两点．
（3）设A为椭圆的下顶点，kAC、kAD分别为直线AC、AD的斜率，证明对任意的k恒 有kAC?kAD??2．
（11）（本题满分15分）
设x?0，（1）证明：ex?1?x?（2）若ex?1?x?
12x； 212yxe，证明：0?y?x． 2（12）（本题满分15分）
已知数列{an}中，a1?3，an?1?an?nan??,n?N,??R． （1）若an?2n对?n?N都成立，求?的取值范围； （2）当???2时，证明
*2*111?????2(n?N*)． a1?2a2?2an?2答案：(1)A； （2）B； （3）C； （4）B． （5）y??x； （6）2； （7）1?1?； （8）???．
2013年卓越联盟自主招生数学试题及答案
