初中数学竞赛辅导资料(42)
型如的证明
甲内容提要
型如的证明,通常是证明它的等价命题 第一种 转化为线段的比例式
（1） 可证 和两个同分母的分式分别相等，例如 当m+n=p 时等式成立
（2）可证明 c,a,b－c,b 四条线段成比例，关鍵是作出b－c的差 （3）可证明 a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和 第二种 转化为线段的乘积式 bc+ac=ab(4)
(4) 常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积 乙例题
例1. 已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，O是AC和BD的交点，
OE∥AB交BC于有E
求证： 分析：
证明，分别和，相等即可（下略）
例2. 已知：在△ABC中，∠ACB＝120，CD是角平分线 求证： 分析一：
延长AC到E，使CE＝CB，可证△BCE为等边，BE∥CD 分析二：＝
在CB上截取CE＝CD，
可证△CDE为等边三角形，DE∥CA 分析三：CA×CD＋CB×CD＝CA×CB
可由S△CAD＋S△CBD＝S△CAB证得 证明：∵S△CAD＋S△CBD＝S△CAB
∴CA×CDSin∠ACD＋CB×CDSin∠BCD=CA;x CBSin∠ACB ∵Sin120=Sin60,
∴CA×CD＋CB×CD＝CA×CB ∴
例3. 已知：△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶4 求证：
分析：
在AC上取CD＝BC，证明 即可，要创造相似三角形，作角平分线CE，连结DE，得△ACE∽△ABC，再证CE＝DE＝AD 证明：在AC上取CD＝BC，作角平分线CE，连结DE 显然△CDE≌△CBE，∠DCE＝∠BCE＝2α ∠CDE＝∠B＝2α，
∵∠A＝α，∴∠DEA＝α ∴CE＝ED＝DA ∵△ACE∽△ABC， ∴，, ,
, 1 － ∴
例4. 已知：点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比 即AC∶CB＝AD∶DB＝κ（称C，D调和分割AB） 求证： 分析：
＝κ
（证明步骤是分析的倒逆）
例5. 如图已知：△ABC中，BC＝a,高AD＝h,内接正方形EFGH边
长为m
求证：
分析：hm+am=ah, 可用面积公式证 证明：∵S△AEF＋S梯形EFGH＝S△ABC
∴
即 m(h-m)+(m+a)m=ah, mh+ma=ah 两边除以ahm, 得 丙练习42
1. 四边形ABCD中，∠A＝∠C＝Rt∠，P是BD上的一点，PM⊥AB， PN⊥CD，M，N是垂足，求证：
2. △ABC中，CD是角平分线，DE∥BC交AC于E，则
3. 经过平行四边形ABCD的顶点D的一直线交BC于M，交AB的延长
线于N，求证
4. 已知：△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC
求证：（1∶S△BAE）＋（1∶S△BEC）＝1∶S△BED
5. △ABC中，∠C＝60，角平分线CD＝t, 求证
6. △ABC内一点P，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D，E，F是垂足，设
a,b,c 边上的高分别为ha,hb,hc求证 7. 已知2a=7b=14c 求证
8. 已知：直线y=bx+c (b ≠0), 与抛物线y=ax2（a≠0） 有两个交点，
与横轴有一个交点，它们的横坐标分别为x1,x2,x3 且b2-4ac>0 求证：
9. Rt△ABC斜边上的高CD＝h，那么
10. 过△ABC内一点P分别作三边的平行线DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC
求证：① ②
11. 在等边△ABC外接圆的弧上取点P
PA交BC于M，求证
12. PA，PB切⊙O于A，B，直线PO交⊙O于M，N，交AB于C
求证
13. 已知半径分别为R，r 的⊙O和⊙O1外切于P，点P到外公切线AB的
距离为d, 则
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