数论II课程详细信息
课程号 英文名称 先修课程 00102935 Number theory II 数论I （包括基本代数数论，抽象代数等） 数论 II 是数论方面的研究生课程，要对现代数论的若干核心理论进行较为系统的介绍。具体计划为任课老师在以下内容中选择授奖： （1） 概形的基础理论：包括概形和凝聚层的基本语言、凝聚层上同调的基本概念和重要结果、整体域 和局部域上的概形及其约化等； （2） Mordell-Weil 定理：包括 Abel 概形的基本概念、 Abel 概形上的线丛、 Weil 高度理论、无穷下 降法和有理点群的有限型结果、 Mordell 猜想及其证明简介等； 中文简介 （3） Arakelov 理论：包括算术曲线的理论（与 Riemann 曲面论相对照）、算术曲面上的相交理论 （与复代数曲面论相对照）、与高度理论的关系、高维算术流形的理论简介等； （4） 平展上同调理论：包括平展态射和平滑态射的基本概念、平展拓扑与平展上同调的定义及其 基本性质、平展覆叠与代数基本群、平展上同调在数论问题上的应用简介等。 （5）朗兰兹纲领相关理论：包括类域论，Lubin-Tate形式群理论，伽罗瓦表示基本理论，Weil-Deligne表示理论，自守表示理论初步，p进Hodge理论初步等。 In this course, we systematically study some topics in modern number theory. The content may include the following. (1) Basic scheme theory: including the basic theory of schemes and coherent sheaves, cohomology of coherent sheaves, schemes over global fields and over local fields, and their reduction; 英文简介 (2) Mordell-Weil theorem: including abelian schemes, line bundles over abelian schemes, the height theory, some finiteness result on rational points, Mordell conjecture and an introduction to the proof; (3) Arakelov theory: including arithmetic curves, intersection theory, higher dimensional arithmetic geometry;
学分 3
(4) Etale cohomlogy theory: including etale morphism, smooth morphism, etale topology and etale cohomology, etale fundamental group, and the arithmetic applications of the theory of etale cohomology. (5) Langlands program: including class field theory, Lubin-Tate formal group theory, Galois representations, Weil-Deligne representations, basic theory of automorphic representations, basic p-adic Hodge theory. 开课院系 通选课领域 是否属于艺术与美育 平台课性质 平台课类型 授课语言 教材 参考书 数学科学学院 否 中文 无； 学习数论相关的前沿核心理论，一方面为之后从事相关研究提供知识储备，一方面锻炼学生的数学科研能力。 有限群的上同调理论，包括介绍群的上同调的定义及计算，Hochschild-Serre普序列， inflation-restriction正合列，Tate上同调，循环群的上同调，cup-product等 （约9课时） P群及Tate-Nakayama定理（约4课时） Profinite群的上同调理论，包括profinite群的定义，维数公式，Galois上同调初步，局部域的Brauer群初步等（约8课时） 教学大纲 局部域的Brauer群的基本理论及关于同调维数等。（约3课时） 局部域的二次互反率及引用（约3课时） Lubin-Tate理论，包括形式群简介，形式群的torsion点对应的局部域扩张，Lubin-Tate扩张的存在性等（约6课时） 整体域理论回顾，包括回顾基本性质，整体域的Galois扩张，Ideles及强逼近定理等（约4课时） Idele的上同调理论及类域论公理，Kummer扩张等（约4课时） 二次互反率及Brauer-Hass-Noether定理（约3课时）
整体类域论，Hilbert类域等。（约4课时） 课堂讲授。 期末考试。 教学评估 丁一文：
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