【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x， 解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等， 所以x＝2是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC． 求证：（1）
＝
；（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD知（2）由出答案．
【解答】证明（1）∵AB＝CD， ∴∴ （2）∵
＝
，
＝＝
，即；
+
＝
+
，
＝
＝
，即
+
＝
+
，据此可得答案；
知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛． 收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据： 成绩x（单位：分） 60≤x＜70 70≤x＜80 频数（人数） 1 2 80≤x＜90 90≤x＜100 17 10
（1）请将图表中空缺的部分补充完整；
（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 【分析】（1）由已知数据计数即可得；
（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；
（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得． 【解答】解：（1）补全图表如下：
．
（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×
＝120（人）；
（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D， 画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6， 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为， 故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标； （3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据一次函数y1＝x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求； （3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围． 【解答】解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为y2＝
；
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得解得
，
，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2， ∴一次函数与y轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），
∴BC＝＝3．
（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22024的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+…+22017+22024① 则2S＝2+22+…+22024+22024② ②﹣①得2S﹣S＝S＝22024﹣1 ∴S＝1+2+22+…+22017+22024＝22024﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝ 210﹣1 ； （2）3+32+…+310＝
；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可； （3）利用（2）的方法计算．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+…+29① 则2S＝2+22+…+210② ②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1 ∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1； 故答案为：210﹣1
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①， 则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②， ②﹣①得2S＝311﹣1， 所以S＝
，
即1+3+32+33+34+…+310＝故答案为：
；
；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①， 则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②， ②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1， 所以S＝
，
，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G． ①线段DB和DG的数量关系是 DB＝DG ； ②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．
（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接
BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．
【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可；
②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； ②先同理得：BG＝
BD，计算BD的长，从而得BG的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．
【解答】解：（1）①DB＝DG，理由是： ∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，
2024年四川省自贡市中考数学试题及答案
