任意角的三角函数定义创新应用
意角的相关知识是学习三角函数的基础，主要内容涉及到三角函数的定义、角所在象限的判断等，本文通过几道新题目对本节内容进行剖析。重在牢固掌握利用定义解决实际问题。
一、逆用定义解决实际问题
例1、已知角?的终边上一点P到原点的距离为10，若sin???4，且52k????2k??3?(k?Z)，求点P的坐标 2分析：利用定义求?角的三角函数值，与?角终边上点P（x，y）（原点除外）有关，
解：设点P的坐标为（x，y），由sin???故可以考虑依据已知条件建立关于x、y的方程求解。
43?<0，且2k????2k??(k?Z)可524知?是第三象限的角，从而x?0,y?0. 因为|OP|＝10，sin???，所以
5y4??，解得y＝－8. 又x2?y2?10且x<0，所以x＝－6， 105所以点P的坐标为（－6，－8）.
点评：本题是已知角?的三角函数值，求角?的终边上一点P的坐标的问题，解决这类问题，常常需要注意以下两点：（1）三角函数的符号需要由角的象限决定，它们的正负情况有一般的规律：第一象限全正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正，因而可简记为“全STC”；（2）当不知道角的象限时，常有两种情形：一种情形是尽量缩小角的范围，使之能确定三角函数的符号（本例即属此种情形）；另一种是当无法缩小角的范围时，分象限讨论。
二、题目设计动态化
解这类题的策略是化动为静，让运动元素运动到某一位置，用静止状态下的图形来处理动态问题．
例2、点P从（1，0）出发，沿单位圆x?y?1逆时针方向运动则Q的坐标为（ ）
A、(?222?弧长到达Q点，331131331,?) C、(?,?) D、(?,) B、(?,) 22222222分析：本题是在动态的情景下考查任意角三角函数的定义，实质是求弦值。
解：x?cos2?的余弦值与正32?32?1?sin600?，故选A. ??cos600??，y?sin3232 例3．如图，动点P、Q从点（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转
??弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇36点的坐标及P、Q各自走过的弧长。
解：设P、Q第一次相遇时所用时间是t，则
t??3?t?|??6|?2?，所以t＝4（秒）
设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在
?3?4?4?的位置，则 34???4??2，yc??sin?r??23，所以C点的坐标为 334?168(?2,?23)，P点走过的弧长为：?4??；Q点走过的弧长为?.
333xc??cos点评：本题把点动与数学中的运动问题、弧长公式联系起来组成，难点不大，但要求
较全面，汇集了多方面的知识，融入了动态的变和不变、数形结合思想．
三、活用知识进行三角函数的求值、证明、化简
例4：已知tan??2，且?为第一象限角，求2sin??cos?的值. 解：如图，在单位圆O中，AT＝tan??2，在Rt▲OAT中，
OT?12?22?5，sin??AT25OA5??. ，cos??OT5OT5所以2sin??cos?＝2×
255?5. ＋
55点评：求解本题关键是活用正弦线、余弦线、正切线的定义。三角函数线的不仅限于描
绘三角形的图象，且在解决一些三角函数题，若能恰当的利用三角函数线往往能使问题解决的直观、新颖、简捷，
四.单位圆（或坐标系）、三角函数的定义与三角恒等变换交汇
在单位圆（或者坐标系）中考查三角函数恒等变换能够体现在知识交汇处命题的意图，也能够考查解决涉及的思想方法，所以是近几年命题一大亮点。
例4如图，平面直角坐标系xOy中，已知点B（4，－3），点C在第一象限，BC交x轴与点A，?BOC?120，|BC|=7，
（1）求|OC|的长；
（2）记?AOC??,?BOA??,?,?,均为锐角，求sin?和sin?的值。
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【思路探究】本题第一问考查了利用余弦定理求线段的长度，解决关键是熟记余弦定理正确应用定理解决问题；第二问考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的定义。注意两角和差正弦公式的正确使用。解决关键是结合直角坐标系利用数形结合以及恒等变换策略求解。
【解析】：（1）?OB?5，在?OBC中，由余弦定理得：
BC?OB?OC?2OB?OCcos120?，从中解得：OC?3
（2）由点B(4,?3)及?均为锐角得：sin??又???120??，
????22234，cos?? 55∴sin??sin(120??)?sin120cos??cos120sin??3?43 10【点评】三角函数定义与三角恒等变换交汇成为新热点，体现了数与形的密切联系，本题应该在热点题型基础上又所创新，是直角坐标系与解三角形、三角恒等变换的交汇。解决策略是借助坐标系，构造点的坐标，利用数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题解决。
任意角的三角函数定义创新应用
