高三数学第二轮专题讲座复习：探索性问题

张喜林制

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高三数学第二轮专题讲座复习：探索性问题

高考要求

高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 重难点归纳

如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题 条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征

解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法

（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合； （5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊 典型题例示范讲解

例1已知函数f(x)?f(1)＞bx?c1(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且22ax?12 （1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，5并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由

命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力

知识依托 函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题 错解分析 不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解

技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证

解 （1）∵f(x)是奇函数∴f(–x)=–f(x)，即

?bx?cbx?c??∴–bx+c=–bx–c

ax2?1ax2?1∴c=0∴f(x)=

bx由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，当x＞0时，f(x)＞0 2ax?1∴f(x)的最大值在x＞0时取得 ∴x＞0时，f(x)?1a1x?bbx?1 2?21ab2

当且仅当

a11x?即x?时，f(x)有最大值bbxa12ab2∴

a2

=1,∴a=b① 2b 1 / 4

2b2，∴＞,∴5b＞2a+2 ② 5a?151x把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=2

2x?1又f(1)＞

（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，

?x0?x2?1?y0?0P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴?,消去y0，得x02–2x0–1=0

?2?x0??y02??(2?x0)?1解之，得x0=1±2,∴P点坐标为(1?2,22)或(1?2,?) 44进而相应Q点坐标为Q（1?2,?22）或Q(1?2,)

44过P、Q的直线l的方程 x–4y–1=0即为所求 例2如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b

ApBa间的距离为p，直线b、c间的距离为

p，A、B为直线a2bMN上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度pc2为2p的线段

（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E； （2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）

命题意图 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力

知识依托 求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程

错解分析 ①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析

技巧与方法 本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目

解 （1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系 设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，

2222由题意，有｜CA｜=｜CM｜∴x?(y?p)?(x?x?p)?y,化简，得x2=2py

它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线

（2）由（1）得，直线c恰为轨迹E的准线 由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,

p）2是抛物线的焦点 ∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E

的交点即为所求的点直线BF的方程为y?11x?p联立方程组 42 2 / 4

1?x?p(1?17)11??y?x?p1?179?174??得 即C点坐标为(p,p) 42??416?y?9?17p.?x2?2py??16?此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=

17p 2例3已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3,｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为

b解析 如图–a与b，c的夹角为60°,且|a|=|–a|=3

-aca由平行四边形关系可得–a=3c+答案 a=–3c–

33b,∴a=–3c–b 223b 2例4 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？

2 解析 飞机成功飞行的概率分别为 4引擎飞机为

223342224C24P(1?P)?C4P(1?P)?C4P?6P(1?P)?4P(1?P)?P 2引擎飞

机为C2?P(1?P)?C2P?2P(1?P)?P 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有

12226P2（1–P）2+4P2（1–P）+P4≥2P(1–P)+P2,解得P≥即当引擎不出故障的概率不小于

2 32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全 3学生巩固练习

1 已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( ) ①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α∥β

A ①与② B ①与③ C ②与④ D ③与④

2 某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票 现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( ) PA 7张 B 8张 C 9张 D 10张 3 观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°

33=,sin215°+cos245°+sin15°2cos45°=， 44ABCD写出一个与以上两式规律相同的一个等式

4 在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E

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（1）使∠PED=90°；（2）使∠PED为锐角 证明你的结论

5 已知非零复数z1,z2满足｜z1｜=a,｜z2｜=b,｜z1+z2｜=c（a、b、c均大于零），问是否

根据上述条件求出

z2？请说明理由 z1参考答案

1 解析 ①l⊥α且α∥β?l⊥β,m?β?l⊥m ②α⊥β且l⊥α?l∥β,但不能推出l∥m ③l∥m,l⊥α?m⊥α,由m?β?α⊥β ④l⊥m,不能推出α∥β 答案 B

2 解析 选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张 故8张 答案 B 3 解析 由50°–20°=(45°–15°)=30°

3 43答案 sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=

4114 解 (1)当AB≤AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB>AD时，使

22可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=∠PED=90°的点E不存在 （只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）

（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点

连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角 同理，点C也是其中一点

5 解 ∵|z1+z2|2=(z1+z2)(z1+z2)=|z1|2+|z2|2+(z1z2+z1z2)∴c2=a2+b2+(z1z2+z1z2)

即 z1z2+z1z2=c2–a2–b2

∵z1≠0,z2≠0，∴z1z2+z12z2=

zzz1z2z2z1z1z2 =|z2|2(1)+|z1|2(2) ?z2z1z2z1即有 b2(

z1zzz)+a2(2)=z1z2+z1z2 ∴b2(1)+a2(2)=c2–a2–b2 z2z1z2z1∴a2(

z22222z2)+(a+b–c)()+b2=0 z1z1z2z的一元二次方程，解此方程即得2的值 z1z1这是关于

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