第三章 中值定理与导数的应用
(一)
1．在下列四个函数中,在??1,1?上满足罗尔定理条件的函数是( B ) A．y?8x?1 B．y?4x2?1 C．y?2．函数f?x??1 D．y?sinx 2x1满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( C ) x A．??2,2? B． ??2,0? C．?1,2? D．?0,1? 3．方程x5?5x?1?0在??1,1?内根的个数是 ( B ) A．没有实根 B．有且仅有一个实根 C．有两个相异的实根 D．有五个实根 4．若对任意x??a,b?，有f??x??g??x?，则 ( D ) A．对任意x??a,b?，有f?x??g?x?， B．存在x0??a,b?，使f?x0??g?x0?，
C．对任意x??a,b?，有f?x??g?x??C0(C0是某个常数)， D．对任意x??a,b?，有f?x??g?x??C(C是任意常数)。 5．函数f?x??3x5?5x3在R上有 ( C )
A．四个极值点； B．三个极值点 C．二个极值点 D． 一个极值点 6．函数f?x??2x3?6x2?18x?7的极大值是 ( A ) A．17 B．11 C．10 D．9
7．设f?x?在闭区间??1,1?上连续，在开区间??1,1?上可导，且f??x??M，
f?0??0，则必有 ( C )
A．f?x??M B．f?x??M C．f?x??M D．f?x??M 8．若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则 ( B ) A．存在???0,1?，有f?b??f?a??f????b?a???b?a?， B．存在???0,1?，有f?a??f?b??f??a???b?a???b?a?，
1
C．存在???a,b?，有f?a??f?b??f?????a?b?， D．存在???a,b?，有f?b??f?a??f?????a?b?。 9．若a2?3b?0，则方程f?x??x3?ax2?bx?c?0( B )
A．无实根 B．有唯一的实根 C．有三个实根 D．有重实根
x2sin110．求极限limxx?0sinx时，下列各种解法正确的是 ( C )
A．用洛必塔法则后，求得极限为0,
B．因为lim1x?0x不存在，所以上述极限不存在,
C．原式?limxx?0sinx?xsin1x?0, D．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在. 11．设函数y?2x1?x2，在 ( C ) A．???,???单调增加, B．???,???单调减少, C．??1,1?单调增加，其余区间单调减少, D．??1,1?单调减少，其余区间单调增加.
．曲线y?ex121?x ( D )
A．有一个拐点 B．有二个拐点 C．有三个拐点 D．13．指出曲线y?x3?x2的渐近线 ( C ) A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B．x?3为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D． 只有水平渐近线
214．函数f?x??x3??x2?1?13在区间?0,2?上最小值为 ( D )
A．
7294 B．0 C．1 D．无最小值 15．求limx?ln?1?x?x?0x2 2
无拐点 解：原式
0型01?limx?0111?x?lim1?
x?02?2x1?x?2?11?16．求lim? ???x?0?ln??1?x?x?解：原式?limx?0x?ln?1?x?xln?1?x?0型01?limx?011?xxln?1?x??1?x
x ?limx?0?1?x?ln?1?x??x17．求lim60型0lim11?
x?0ln?1?x??221?2sinx
?cos3xx?0型0解：原式lim?2cosx3 ?x?0?3sin3x312x18．求lim?1?xx?0?
ln1?x2，则lny?
x解：令y??1?xln1?x2 ∵limx?0x12x?????0型0lim2x?0
x?01?x2∴原式?e0?1.
???19．求lim??arctgx?
x???2???解：令?arctgx?t，则x?ctgt
21lnxt 故原式?lim?t?01lnctgt
lnt lnctgt 令y?t1lnctgt，则lny? 3
lny ∵lim?t?0?型?t?0lim??sint??lim?cost?? ?t?01t????csc2tctgt1t?? ?lim?t?0sint??cost? ?lim?t?0t ??1 ∴原式?e?1.
20．求函数y?x3?3x2?9x?14的单调区间。 解：y??3x2?6x?9?3?x?1??x?3? 当x??1时，y??0， 当?1?x?3时，y??0 当x?3时，y??0
故y在???,?1?及?3,???单增，在??1,3?单减。 21．求函数y?2ex?e?x的极值。 解：y??2ex?e?x
1 令y??0得x??ln2
21 当x??ln2时，y??0，从而y单减
21 当x??ln2时，y??0，从而y单增
21 故x??ln2时，y取极小值0
222．若x?0，证明ex?1?x
证明：令F?x??ex?1?x，则F??x??ex?1
当x?0时，F??x??0，从而F?x?在?0,???单增 因为F?0??0，故F?x??0，即 ex?1?x.
4
x2?ln?1?x??x. 23．设x?0，证明x?2证明：
x21?x2?ln?1?x?，则f??x??1?x??1：令f?x??x? 21?x1?x0
因x?0，则f??x??0，从而f?x?在?0,???单减。
x2?ln?1?x? 故f?x??f?0??0，即x?220：令g?x??ln?1?x??x，则g??x??1?1 1?x 当x?0时，g??x??0，从而g?x?在?0,???单减 故g?x??g?0??0，即ln?1?x??x
x2?ln?1?x??x. 由1、2知，x?20
0
ln2x24．求函数y?的单调区间与极值。
x解：y???2?lnx?lnx,
x2 令y??0，得x?1或e2. 故可疑极值点1，e2.
x y? y ?0,1? - 1 极小值0 ?1,e? 2e2 ?e,??? 2+ 极大值4 e2- 1?25．当a为何值时，y?asinx?sin3x在x?处有极值？求此极值，并说
33明是极大值还是极小值。
解：y??acosx?cos3x
由于y在x?????处有极值，则y????0，从而a?2 3?3?5
第三章 中值定理与导数的应用（答案）
