【课后练习】
1.在长方体ABCD?A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 .
2.如图,正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,AA1?2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( ) 132A. B. C.
555 45
D1 A1
C1
D.
D A
B
C
3.如图2,正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
4.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2,P,Q分别是BC,CD上的动点,且PQ?2,确定
P,Q的位置是_______时,使QB1?PD1.
5.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中,?ABC?90°,SA?面ABCD,
SA?AB?BC?1,AD?1,求面SCD与面SBA所成二面角的正切值. 2
7.如图,在四棱锥S?ABCD中,底面ABCD为正方形, 侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点. (1)证明EF∥平面SAD;
(2)设SD?2DC,求二面角A?EF?D的大小的余弦值.
S
F
D
6
C B
A
E
7.如图,三棱柱A1B1C1?ABC中,平面A1AB?平面ABC,
平面A1AC?平面ABC, ?BAC?90?,AB?AC?2,AA1?3. (Ⅰ) 求证:AA1?平面ABC;
(Ⅱ) 求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值; (Ⅲ) 求点B1到平面ABC1的距离
8、如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为
直角梯形,其中BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点. (1)求证:PO⊥平面ABCD;
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小;
3AQ(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的
QD2值;若不存在,请说明理由.
7
9.如图,在四棱锥O?ABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,?ABC??4, OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的
OMABNCD中点,N为BC的中点。
(Ⅰ)证明:直线MN‖平面OCD; (Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小; (Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。
10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD= AA1=1,AB=2。E是CC1的中点, (1)求锐二面角D-B1E-B的余弦值
(2)试判断AC与面DB1E的位置关系,并说明理由。
(3)设M是棱AB上一点,若M到面DB1E的距离为错误!未找到引用源。,试确定点M的位置。
D1C1B1A1EDCAB8
11 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,?ABC?60?,E,
F分别是BC, PC的中点.
(Ⅰ)证明:AE⊥PD ;
(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角正切
值为
12.长方体ABCD-A1BlClD1中,AB=2,AD=1,AA1=2,E、F分别是
AB、CD的中点
(1)求证:DlE⊥平面ABlF;
(2)求直线AB与平面ABlF所成的角 (3)求二面角A-B1F-B的大小。
13.如图,三棱锥P—ABC中, PC?平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD?平面PAB.
P (I) 求证:AB?平面PCB;
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小; (III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值. D B CA6,求二面角E—AF—C的余弦值. 29
课外练习
1.如右下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB= FB=1.
D1 (1)求二面角C-DE-C1的正切值; C1
(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.
A1
B1
D C
F
B A E
2已知,如图四棱锥错误!未找到引用源。中,底面错误!未找到引用源。是平行四边形,错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,垂足为错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上,且错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的中点,四面体错误!未找到引用源。的体积为错误!未找到引用源。 (Ⅰ)求异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成角余弦值;
(Ⅱ)若错误!未找到引用源。点是棱错误!未找到引用源。上一点,且错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的值.
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空间向量讲义
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