专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题
一、解答题 1．【省市第二中学2024届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得标。
，由定值可得需满足
，解得可得定点坐
解得。
∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明：
由题意设直线的方程为， 由消去y整理得设，，
，
要使其为定值，需满足，
解得.
故定点的坐标为.
点睛：解析几何中定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2．【省市第七中学2017-2024学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物线
C:y2?2px（p?0,p为常数）交于不同的两点M,N，当k?（1）求抛物线C的标准方程；
1时，弦MN的长为415. 2（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点B?1,?1?，判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）y?4x;（2）直线NQ过定点?1,?4?
2【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设Mt2,2t,Nt12,2t1,Qt22,2t2，则kMN?则MN:2x??t?t1?y?2tt1?0； 同理： MQ:2x??t?t2?y?2tt2?0
??????2， t?t1NQ:2x??t1?t2?y?2t1t2?0.
由??1,0?在直线MN上?t?1（1）； t1由?1,?1?在直线MQ上?2?t?t2?2tt2?0将（1）代入?t1t2??2?t1?t2??1 （2） 将（2）代入NQ方程?2x??t1?t2?y?4?t1?t2??2?0，即可得出直线NQ过定点．
（2）设Mt2,2t,Nt12,2t1,Qt22,2t2，则kMN=则MN:y?2t???????2t?2t12?， 22t?t1t?t1
2x?t2即2x??t?t1?y?2tt1?0； t?t1??同理： MQ:2x??t?t2?y?2tt2?0；
NQ:2x??t1?t2?y?2t1t2?0.
由??1,0?在直线MN上?tt1?1，即t?1（1）； t1由?1,?1?在直线MQ上?2?t?t2?2tt2?0将（1）代入?t1t2??2?t1?t2??1 （2）
将（2）代入NQ方程?2x??t1?t2?y?4?t1?t2??2?0，易得直线NQ过定点?1,?4?
3．【省市第七中学2017-2024学年高二上学期半期考】已知抛物线C:y?mx?m?0?过点?1,?2?， P是
22，且?PAB的重心的纵坐标为?. C上一点，斜率为?1的直线l交C于不同两点A,B（l不过P点）
3（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2，求k1?k2的值.
【答案】（1）方程为y?4x;其焦点坐标为?1,0?（2）k1?k2?0
2【解析】试题分析;（1）将?1,?2?代入y?mx，得m?4，可得抛物线C的方程及其焦点坐标；
2（2）设直线l的方程为y??x?b，将它代入y?4x得x2?（2b?2）x?b2?0，利用韦达定理，结合斜率公式以及?PAB的重心的纵坐标?22，化简可k1?k2 的值； 32， 3所以y1?y2?yp??2，所以yp?2，所以xp?1，
因为?PAB的重心的纵坐标为?所以k1?k2?
y1?2y2?2?y1?2??x2?1??y2?2??x1?1?， ??x1?1x2?1x?1x?1?1??2?又?y1?2??x2?1???y2?2??x1?1?
????x1??b?2????x2?1?????x2??b?2????x1?1?
??2x1x2??b?1??x1?x2??2?b?2? ??2b2?2?b?1??b?2??2?b?2??0.
所以k1?k2?0.
x2y24．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的短轴端点到右焦点F?1，0?的距离为2．
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x?4于点P，若PA??1AF，
PB??2BF，求证： ?1??2为定值．
x2y2??1;(2)详见解析. 【答案】(1) 43【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关
于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.
高考圆锥曲线中的定点和定值问题(题型总结超全)
