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第4章 相交线与平行线
一、知识结构图
余角 余角补角 补角 两线相交 对顶角
角
相 交 线与 平 行 线 同位角 三线八角 内错角 同旁内角
平行线的判定 平行线 平行线的性质 尺规作图
二、基本知识提炼整理
（一）余角与补角
1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
（1）?1??2?900(1800),?1??3?900(1800),则?2??3(同角的余角或补角相等)。
（2）?1??2?900(1800),?3??4?900(1800),且?1??4,则?2??3(等角的余角（或补角）相等)。
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6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。 （二）对顶角
1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 3、对顶角的性质：对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 （三）同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。 （四）六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。 2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。 4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。 （五）尺规作线段和角
1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。 3、尺规作图中直尺的功能是：
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（1）在两点间连接一条线段； （2）将线段向两方延长。 4、尺规作图中圆规的功能是：
（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆； （2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧； 5、熟练掌握以下作图语言： （1）作射线××；
（2）在射线上截取××=××；
（3）在射线××上依次截取××=××=××；
（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；
（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×； （6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；
（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；
6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。 （1）画线段××=××； （2）画∠×××=∠×××； （六）平行线的判定与性质 平行线的判定 1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4、平行于同一条直线的两直线平行 5、垂直于同一条直线的两直线平行
平行线的性质 1、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补 4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 .-
【经典例题】
例1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离； （2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； （3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直； （4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。 分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。
解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。
（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。
（3）这种说法是正确的。
（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。
说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。
?3与?4 例2. 如下图（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问?1与?4，?2与?4，
各是什么角？
A D 1 2 3 E 4 B C
图（1）
分析：已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就容易看了。
A D 1 2 3 E 4 B C
图（2）
答案：?1与?4是同位角，?2与?4是内错角，?3与?4是同旁内角。
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例3 如下图（1），
l2 3 6 4 5 1 2 l1 l3 图（1）
（1）?1与?2是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。
（2）?1与?3是两条直线_______________与_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。
（3）?3与?4是两条直线_______________与___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。
（4）?5与?6是两条直线_______________与_______________，被第三条直线______________________所截构成的________________角。
分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到?1与?3是由直线l1，l3被第三条直线l2所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。
l2 3 1 l1 l3 图（2）
答案：（1）?1与?2是两条直线l2与l3被第三条直线l1所截构成的同位角。 （2）?1与?3是两条直线l1与l3被第三条直线l2所截构成的同位角。 （3）?3与?4是两条直线l1与l3被第三条直线l2所截构成的内错角。
七年级数学相交线与平行线（教师讲义带标准答案）
