2024学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 试卷 2024.4
【考生注意】考试设试卷和答题纸两部分，所有答案必须填涂（选择题）或书写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。考试时间120分钟，试卷满分150分。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设全集U?R，若集合A?{1,2,3,4},B?{x|2?x?3}，则AIeUB=___________. 2. 已知点(2,5)在函数f(x)?1?ax(a?0且a?1)的图像上，则f(x)的反函数f?1(x)=
______________.
x+1?1的解为___________. x4. 已知球的主视图所表示图形的面积为9?，则该球的体积是 .
3. 不等式
cos2x?sinx5. 函数f(x)?cosx32在区间?0,
???
上的最小值为___________. ??2?
6. 若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2?mx?n?0的一个根，则圆锥曲线
x2y2??1的焦距为 . mn7.设无穷等比数列?an?的公比为q.若?an?的各项和等于q，则首项a1的取值范围是 . uuuruuurx28.已知点O(0,0),A(2,0),B(1,?23)，P是曲线y?1?上一个动点，则OP?BA的取值范
4围是 .
9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才
能得冠军.若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为________.（结果用数值表示）
10.已知函数
f(x)?x?4?1??1，若存在x1,x2,L,xn??,4?，使得x?4?f(x1)?f(x2)?L?f(xn?1)?f(xn)，则正整数n的最大值是___________.
?3x?y?0??11.在平面直角坐标系中，设点O，A(3,3)，点P(x,y)的坐标满足?x?3y?2?0，（0，0）?y?0??
1
uuuruuur则OA在OP上的投影的取值范围是 .
12.函数f(x)?sin?x(??0)的图像与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为
A1,A2,A3,L,An,L,在点列?An?中存在三个不同的点Ak,Al,Ap，使得?AkAlAp是等腰直角三
角形.将满足上述条件的?值从小到大组成的数列记为??n?，则?2024=___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 满足条件z?i?3?4i（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（ ）
（A）直线 （B）圆 （C）椭圆 （D）双曲线
14. 设n?N*，则“数列?an?为等比数列”是“数列?an?满足an?an?3?an?1?an?2”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
2则抛物线y?4x上一动点P到直线l1和直15. 已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，
线l2的距离之和的最小值是（ ） （A）
11737 （B） （C）2 （D）
541616. 设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1,x2?R,使得
f(x1?x2f(x1)?f(x2))?，则称函数f(x)具有性质P,那么以下函数： 22?1?(x?0)232f(x)?①； ②f(x)?x； ③f(x)?x?1； ④f(x)?x中，不?x??0(x?0)具有性质P的函数为（ ）
（A）① （B）② （C）③ （D）④
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置
写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos(B?C)?3?0. （1）求角A的大小； （2）若a?
3，b?c?3，求b和c的值.
2
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
BC1与底面ABCD如图：正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为2，
所成角的大小为arctan2，M是DD1的中点，N是BD上的一动点，
A1D1B1C1Muuuruuur设DN??DB(0???1).
1（1）当?=时，证明：MN与平面ABC1D1平行；
A2（2）若点N到平面BCM的距离为d，试用?表示d，并求出d的取值范围.
DNBC19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2024年世界人工智能大会已于2024年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如下图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为450.机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚
8秒(注：信号每秒传v0yl播v0米).在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米. （1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
AOBx20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
对于项数为m(m?3)的有穷数列?an?，若存在项数为m?1，公差为d的等差数列?bn?，使得bk?ak?bk?1，其中k?1,2,…,m，则称数列?an?为“等差分割数列”. （1）判断数列?an?:1,4,8,13是否为“等差分割数列”，并说明理由；
（2）若数列?an?的通项公式为an?2(n?1,2,L,m)，求证：当m?5时，数列?an?不是“等
n差分割数列”；
（3）已知数列?an?的通项公式为an?4n?3(n?1,2,L,m)，且数列?an?为“等差分割数列”.
3
若数列?bn?的首项b1?3，求数列?bn?的公差d的取值范围（用m表示） .
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
??f1?x?,f1?x??f2?x?已知函数y?f1?x?，y?f2?x?，定义函数f?x???.
??f2?x?,f1?x??f2?x??1?（1）设函数f1?x??x,f2?x?????2?x?1?x?0?,求函数y?f?x?的值域；
11，f2?x??lg,p为实常数）
2x ?0?x?（2）设函数f1?x??lg(p?x?1)（0?x???1??，当2?1时，恒有f?x??f1?x?,求实常数p的取值范围； 2xx?p（3）设函数f1(x)?2,f2(x)?3?2,p为正常数，若关于x的方程f(x)?m(m为
0?x?实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）.
参考答案
一、
填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)
1. ?1，4? 2. log2(x?1) 3. (0,+?) 4. 36? 5. ?3 26. 6 7. (?2,0)??0,? 8. ??2,4? 9. 10. 6
4?4?11. [?3,3] 12.
?1?34037? 2二、 选择题：(共20分，每题5分)
13. B 14. A 15. C 16. D 三、 解答题
17、解：（1）由2cos2A+4cos(B?C)?3?0，得4cosA?4cos(B?C)?1?0，…（2分） 因为A?B?C??，所以cos(B?C)??cosA，故(2cosA?1)?0，…………（4分）
4
22所以，cosA?1?，A?． ………………（6分） 23（2）由余弦定理，a2?b2?c2?2bccosA，得b2?c2?bc?3， ………………（8分）
(b?c)2?3bc?3，得bc?2， ………………（10分）
由??b?c?3,?b?2,?b?1,解得?或? ……………（14分）
bc?2,c?2.c?1,???18、解：(1) 因为C1是BC1上的点，且C1在平面ABCD上的射影是C，即
BC是BC1在平面ABCD上的射影，于是?C1BC是BC1与底面ABCD所成的角，
而tan?C1BC?CC1CC1??2,所以CC1?4. ………（2分） BC2zD1A1B1C1如图，以D为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴， 直线DD1为z轴，建立空间直角坐标系.
连结BD1，因为M是DD1的中点，N是BD中点， 所以MN//BD1， ………（4分）
Muuuuruuuuruuuuruuuur于是MN//BD1，令MN?tBD1(t?R). ururuuuur设n1是平面ABC1D1的法向量，则n1?BD1，
uruuuururuuuururuuuururuuuur于是n1?MN?n1?(tBD1)?tn1?BD1?0，即n1?MN，
xDANBCy又因为MN不在平面ABC1D1内，所以MN与平面ABC1D1平行. ………（6分） D1zC1B1(2)由于B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2)，
A1uuuruuuur于是CB?(2,0,0),CM?(0,?2,2). ………（8分） uur设平面BCM的法向量n2?(x,y,z)，
uuruuuruuruuuur?2x?0因为n2?CB?0,n2?CM?0，于是?，
??2y?2z?0uur取y?1，则平面BCM的一个法向量为n2?(0,1,1).………（10分） uuuruuur因为DN??DB(0???1)，
于是N(2?,2?,0)(0???1)，
5
MDAxNBCy
2024学年第二学期徐汇区高三数学二模数学及参考答案
