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由?d?5?0 可得?d?
22k1??d?m576?302??2??2.05?105N/m2525k/m5?0k/m?5?51 2?2??,.
第5章 波动
P210．
5．1 据报道,1976年唐山大地震时,当地某居民曾被猛地向上抛起2m高,设地震横波为简谐波,且频率为1Hz,波速为
3km/s,它的波长多大?振幅多大?
[解答] 人离地的速度 及地壳上下振动的最大速度，为
?m?2gh
地震波的振幅为
A??m2???2gh2???2?9.8?22??1.0m 地震波的波长
??u??31?3km
5．2 已知一波的波动方程为
y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x)
(m)．
（1）求波长、频率、波速及传播方向；
（2）说明x = 0时波动方程的意义，
并作图表示．
[解答]（1）与标准波动方程比较：
y?Acos(?t?2πx?)，
得 2π/λ = 0.6， 因此波长为
λ = 10.47(m)；
圆频率为
ω = 10π，
频率为
v =ωy /2π = 5(Hz)；
t=0 A t=4.2s u 波速为
O 0.5 1 x u = λ/T
= λv = 52.36(m·s-1)． 传播方向沿着x轴正方向．
（2）当x = 0时波动方程就成为该处
质点的振动方程
y = 5×10-2sin10πt = 5×10-2cos(10πt – π/2)，
振动曲线如图．
5．3 已知波的波动方程为
y = Acosπ(4t – 2x)（SI）．
,.
（1）写出t = 4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？
（2）画出t = 4.2s时的波形曲线． [解答]波的波动方程可化为
y = Acos2π(2t – x)，
与标准方程比较
y?Acos[2?(tT?x?)??]， 可知：周期为T = 0.5s，波长λ = 1m．波速为u = λ/T = 2m·s-1．
（1）当t = 4.2s时的波形方程为
y = Acos(2πx – 16.8π)
= Acos(2πx – 0.8π)． 令y = A，则
cos(2πx – 0.8π) = 1，
因此 2πx – 0.8π = 2kπ，(k = 0, ±1, ±2,…)，
各波峰的位置为
x = k + 0.4，(k = 0, ±1, ±2,…)．
当k = 0时的波峰离原点最近，最近为
x = 0.4(m)．
通过原点时经过的时间为
Δt = Δx/u = (0 – x)/u = -0.2(s)， 即：该波峰0.2s之前通过了原点．
（2）t = 0时刻的波形曲线如实线所示．经过t = 4s时，也就是经过8个周期，波形曲线是重合的；再经Δt = 0.2s，波形向右移动Δx = uΔt = 0.4m，因此t = 4.2s时的波形曲线如虚线所示．
[注意]各波峰的位置也可以由
cos(2πx – 16.8π) = 1
解得，结果为
x = k + 8.4，(k = 0, ±1, ±2,…)，
取同一整数k值，波峰的位置不同．当k = -8时的波峰离原点最近，最近为x = 0.4m．
5．4 一平面波在介质中以速度u = 20m·s-1沿x轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A的振动方程为y = 3cos4πt．
8m 5m 9m C B A D x 图7.10
（1）如以A点为坐标原点，写出波动方程；
（2）如以距A点5m处的B点为坐标
,.
原点，写出波动方程；
（3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程．
[解答]（1）以A点为坐标原点，波动方程为
y?3cos4?(t?x?u)?3cos(4?t?x5)．
（2）以B点为坐标原点，波动方程为
y?3cos4?(t?x?xAu) ?3cos(4?t??x5??)． （3）以A点为坐标原点，则xB = -5m、
xC = -13m、xD = 9m，各点的振动方程为
yxBB?3cos4?(t?u)?3cos(4?t??)， yx3?C?3cos4?(t?Cu)?3cos(4?t?5)，
yDD?3cos4?(t?xu)?3cos(4?t?9?5)． [注意]以B点为坐标原点，求出各点坐标，也能求出各点的振动方程．
5．5
y/m 0.2 t1=0 t2=0.25 一列简谐波x/m 沿x轴正向O P 0.45 传播，在t1
图5.5 = 0s，t2 = 0.25s时刻的波形如图所示．试求：
（1）P点的振动表达式； （2）波动方程；
（3）画出O点的振动曲线． [解答]（1）设P点的振动方程为
yP = Acos(ωt + φ)，
其中A = 0.2m．
在Δt = 0.25s内，波向右传播了
Δx = 0.45/3 = 0.15(m)，
所以波速为
u = Δx/Δt = 0.6(m·s-1)．
波长为
λ = 4Δx = 0.6(m)，
周期为
T = λ/u = 1(s)，
圆频率为
ω = 2π/T = 2π．
当t = 0时，yP = 0，因此
cosφ = 0；
由于波沿x轴正向传播，所以P点在此时向上运动，速度大于零，所以
,.
φ = -π/2．
P点的振动表达式为
yP = 0.2cos(2πt - π/2)．
（2）P点的位置是xP = 0.3m，所以 y0?Acos??0，
v0??A?sin??0
1所以 ???
2波的表达式为
1y?Acos[?t?(?x/u)??]
2 (2) x??/8 处振动方程为
波动方程为
y?0.2cos[2?(t?x?xPu)??2]
?0.2cos(2?t?10?3x??2)．
（3）在x = 0处的振动方程为
y0 = 0.2cos(2πt + π/2)，
曲线如图所示．
5．6 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅的圆频率分别为A和ω，波速为U，设t＝0时的波形曲线如图18所示。 ⑴写出此波的波动方程。(y=Acon[(ωt –ωx/u)+x/2])
⑵求距0点分别为λ/8，和3λ/8两处质点的振动方程。
⑶求距0点分别为λ/8，和3λ/8两处质点在t＝0时的振动速度。
解：(1) 以O点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为
y?Acos[?t?(2??/8?)?12?]?Acos(?t??/4)
x?3?/8 的振动方程为
y?Acos[?t?2?3?/8??12?]?Acos(?t??/4)
(3)
dy/dt???Asin(?t?2?x/??12?)
t = 0，x??/8处质点振动速度
dy/dt???Asin[(?2??/8?)?12?]??2A?/2
t = 0，x?3?/8处质点振动速度
dy/dt???Asin[(?2??3?/8?)?12?]?2A?/2
5．7 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅A=10cm，波的圆频率ω=7πrad·s-1，当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向Y轴负方向运动，而x=20cm
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