,.
x = Acos(ωt + φ)，
其中圆频率为
??km?M．
物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸
长为x1，则
x1 = Mg/k．
物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹
簧伸长为x2，则
x2 = (M + m)g/k．
取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为
x0 = x1 - x2 = -mg/k．
因此振幅为
A?x?v220mg22ghm20?2?(k)?k(m?M) ?mg2khk1?(m?M)g； 初位相为
??arctan?v02kh?x?． 0(m?M)g
4．5重量为P的物体用两根弹簧竖直
悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直
方向振动的固有频率．
[解答]（1）可以证
明：当两根弹簧串联时，
k k 总倔强系数为k =
k1 kkk2 12/(k1 + k2)，因此固
有频率为
(a) (b)
??? 图 4.5
2π
?1k2πm ?1k1k2g2?(k．
1?k2)P（2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固
有频率为
???2kkg2π?12??12m2?P．
4．6 一匀质细圆环质量为m，半径为
R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平
光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的
周期．
,.
[解答]方法一：用转动
O 定理．通过质心垂直环面有R θ C 一个轴，环绕此轴的转动惯量为
mg Ic = mR2．
根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为
I = Ic + mR2 = 2mR2．
当环偏离平衡位置时，重力的力矩为
M = -mgRsinθ，
方向与角度θ增加的方向相反．
根据转动定理得
Iβ = M，
即 Id2?dt2?mgRsin??0，
由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程
d2?dt2?mgRI??0． 摆动的圆频率为
??mgRI， 周期为
T?2π2R??2?ImgR?2?g．
方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为
Ep = mg(R - Rcosθ)，
绕O点的转动动能为
E12k?2I?， 总机械能为
E?12I?2?mg(R?Rcos?)． 环在转动时机械能守恒，即E为常量，将上式对时间求导，利用ω = dθ/dt，β = dω/dt，得
0 = Iωβ + mgR(sinθ) ω， 由于ω ≠ 0，当θ很小有sinθ≈θ，可得振动的微分方程
d2?dt2?mgRI??0， 从而可求角频率和周期．
[注意]角速度和圆频率使用同一字母
ω，不要将两者混淆．
y4.7 横截面均匀的光
y0y滑的U型管中有适量液
y图4.7
,.
体如图所示，液体的总长度为L，求液面上下微小起伏的自由振动的频率。
解：建立竖直坐标如图，令微小振动中，两臂水银面相平时，水银面坐标为0，水银的重力势能为0，则以右臂水银面的坐标为准，在振动中任一时刻，水银的运动速度
??dydt．这时振动中水银的动能为12mv2，
水银的势能（看作两水银面相平的状态下，从右臂移高度为y的一段水银柱到左臂，则有质量为Sy的水银升高了高度
y）为Sgy2．因振动中机械能守恒
12m?2?S?gy2?常量 对t求导数可得 mvd?dt?2S?gy??0 化
简 dy2mdt2?2S?gy?0 这就是简谐振动的微分方程． 由此可得振动角频率 ??2S?gm ??2S?g?2gS?LL
4．8 质量为10×10-3kg的小球与轻弹
簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?2?3)的规律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求：
（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；
（2）振动的速度、加速度的最大值； （3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；
（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置．
[解答]（1）比较简谐振动的标准方程
x = Acos(ωt + φ)，
可知：圆频率为
ω =8π，
周期
T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，
振幅为
A = 0.1(m)，
位相为
φ = 2π/3．
（2）速度的最大值为
vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s-1)；
加速度的最大值为
am = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s-2)．
,.
（3）弹簧的倔强系数为 k = mω2，
最大回复力为
f = kA = mω2A = 0.632(N)；
振动能量为
E = kA2/2 = mω2A2/2 = 3.16×
10-2(J)，
平均动能和平均势能为
Ek?Ep= kA2/4 = mω2A2/4 = 1.58×
10-2(J)．
t=1,2,10s A （4）如图O x 所示，当t为1，
2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．
4．9 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m = 1.68×10-27kg，振动频率v = 1.0×1014Hz，振幅
A = 1.0×10-11m．试计算：
（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量．
[解答]（1）氢原子的圆频率为
ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s-1)，
最大速度为
vm = ωA = 6.28×103(m·s-1)．
（2）氢原子的能量为
E?122mvm= 3.32×10-20(J)．
4．10 质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k = 25N·m-1，如果开始振动时具有势能0.6J，和动能0.2J，求：
（1）振幅；
（2）位移多大时，动能恰等于势能？ （3）经过平衡位置时的速度． [解答]物体的总能量为
E = Ek + Ep = 0.8(J)．
（1）根据能量公式
E = kA2/2，
得振幅为
A?2E/k= 0.253(m)．
（2）当动能等于势能时，即Ek = Ep，由于
,.
E = Ek + Ep，
可得
E = 2Ep，
即 12kA2?2?12kx2， 解得
x??2A/2= ±0.179(m)．
（3）再根据能量公式
E = mvm2/2，
得物体经过平衡位置的速度为
vm??2E/m= ±2.53(m·s-1)．
4.11 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．
[解答]设它们的振动方程为
x = Acos(ωt + φ)，
当x = A/2时，可得位相为
ωt + φ = ±π/3．
由于它们在相遇时反相，可取
Φ1 = (ωt + φ)1 = -π/3，
Φ2 = (ωt + φ)2 = π/3，
它们的相差为
ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3， 或者
A ΔΦ` = 2
O x π –ΔΦ = 4π/3．
矢量图如图所示． 4．12 x/cm 5 两个频率x1 x2 t/s 和振幅都0 1 2 3 4 -5 相同的简
图4.12 谐振动的x-t曲线如图所示，求：
（1）两个简谐振动的位相差； （2）两个简谐振动的合成振动的振动方程．
[解答]（1）两个简谐振动的振幅为
A = 5(cm)，
周期为
大学物理学振动与波动习题集规范标准答案
