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大学物理学（上） 第四，第五章习题答案
第4章 振动
P174．
4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅
φ = ±π/3． 物体的速度为
A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物
体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式； （2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．
[解答]（1）设物体的简谐振动方程为
v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)．
当t = 0时，
v = -ωAsinφ，
由于v > 0，所以sinφ < 0，因此
φ = -π/3． 简谐振动的表达式为
x = 0.12cos(πt – π/3)．
（2）当t = T/4时物体的位置为
x = 0.12cos(π/2 – π/3)
= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为
x = Acos(ωt + φ)，
其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．
当t = 0时，x = 0.06m，所以
cosφ = 0.5，
因此
v = -πAsin(π/2 – π/3)
= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)． 加速度为
,.
a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + φ)
= -π2Acos(πt - π/3)
= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得
cos(πt1 - π/3) = -0.5，
因此
πt1 - π/3 = ±2π/3．
由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此
πt1 - π/3 = 2π/3，
得t1 = 1s．
当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此
cos(πt2 - π/3) = 0，
可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等． 由于t2 > 0，所以
πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．
所需要的时间为
Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．
方法二：反向运动．物体从x =
-0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此
cos(πt - π/3) = 0，
可得 πt - π/3 = π/2， 解得 t = 5/6 = 0.83(s)．
[注意]根据振动方程
x = Acos(ωt + φ)，
当t = 0时，可得
φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π），
初位相的取值由速度决定．
由于
v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)，
当t = 0时，
v = -ωAsinφ，
当v > 0时，sinφ < 0，因此
φ = -arccos(x0/A)；
当v < 0时，sinφ > 0，因此
φ = arccos(x0/A)．
可见：当速度大于零时，初位相取负值；
,.
当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ = π．
4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：
（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；
x （2）A a 振动表达A/2 b O c 式；
d t e （3）图6.2
画出旋转矢量图．
[解答]方法一：由位相求时间． （1）设曲线方程为
x = AcosΦ，
其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．
由于xa = A，所以
cosΦa = 1，
因此 Φa = 0．
由于xb = A/2，所以
cosΦb = 0.5，
因此 Φb = ±π/3；
由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此
Φb = π/3．
由于xc = 0，所以
cosΦc = 0，
又由于c点位相大于b位相，因此
Φc = π/2．
同理可得其他两点位相为
Φd = 2π/3，Φe = π．
c点和a点的相位之差为π/2，时间之
差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与
O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻
为
ta = T/6．
到达b点的时刻为
tb = 2ta = T/3．
到达c点的时刻为
tc = ta + T/4 = 5T/12．
到达d点的时刻为
,.
td = tc + T/12 = T/2．
到达e点的时刻为
te = ta + T/2 = 2T/3．
（2）设振动表达式为
x = Acos(ωt + φ)，
当t = 0时，x = A/2时，所以
cosφ = 0.5，
因此
φ = ±π/3；
由于零时刻的位相小于a点的位相，所以
φ = -π/3，
因此振动表达式为
x?Acos(2?tT??3)．
另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置d c b 对时间的变化e a 率，所以切线代O φ x A 表速度的方向；
由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此
初位相取负值，从而可得运动方程．
（3）如图旋转矢量图所示． 方法
x A a A/2 b f O c d t e 二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于xf = 0，根据运动方程，可得
cos(2?tT??3)?0 所以
2?tfT??3???2． 显然f点的速度大于零，所以取负值，解得
tf = -T/12．
从f点到达a点经过的时间为T/4，所
以到达a点的时刻为
ta = T/4 + tf = T/6，
其位相为
?aa?2?tT??3?0． 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点
的位相．
4．3如图所示，质量为10g的子弹以
速度
v = m v M k 103m·s-1水平
图4.3
射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作
简谐振动．设弹簧的倔强系数k = 8×
,.
103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：
（1）振动的振幅； （2）振动方程．
[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即
mv = (m + M)v0．
解得子弹射入后的速度为
v0 = mv/(m + M) = 2(m·s-1)，
这也是它们振动的初速度．
子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得
(m + M) v02/2 = kA2/2，
所以振幅为
A?vm?M0k= 5×10-2(m)． （2）振动的圆频率为
??km?M= 40(rad·s-1)．
取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为
x = Acos(ωt + φ)．
当t = 0时，x = 0，可得
φ = ±π/2；
由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为
x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)．
4．4 如图所
k 示，在倔强系数为kx1 x2 的弹簧下，挂一质量m O h 为M的托盘．质量M 为m的物体由距盘x 图4.4
底高h处自由下落
与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．
[解答]物体落下后、碰撞前的速度为
v?2gh，
物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量
守恒定律可得它们的共同速度为
v0?mm?Mv?mm?M2gh，
这也是它们振动的初速度．
设振动方程为
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