2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）
理数
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A?x|x2?2x?0，B?x|1?3x?81，C??x|x?2n,n?N?，则(AA．?2?
B．?0,2?
C．?0,2,4?
D．?2,4?
???? B)C?（ ）
2.设i是虚数单位，若i(x?yi)?A．2?i
5i，x，y?R，则复数x?yi的共轭复数是（ ） 2?iC．2?i
D．?2?i
B．?2?i
3.已知等差数列?an?的前n项和是Sn，且a4?a5?a6?a7?18，则下列命题正确的是（ ） A．a5是常数
B．S5是常数
C．a10是常数
D．S10是常数
4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A．
3 16B．
3 8C．
1 4D．
1 8x2y25.已知点F为双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的右焦点，点F到渐近线的距离是点F到左顶点
ab的距离的一半，则双曲线C的离心率为（ ） A．2或
5 3B．
5 3C．2 D．2
?1?sinx,x????,0?,6.已知函数f(x)??则?f(x)dx?（ ）
??2??1?x,x?(0,1],?? C．?2? 227.执行如图程序框图，则输出的S的值为（ ）
A．2??
B．
D．
?4?2
A．2024
B．2024
C．2505 D．2505?1
8.已知函数f(x)?sin?xcos?x?3cos2?x?3?(??0)的相邻两个零点差的绝对值为，则函数24f(x)的图象（ ）
5?个单位而得 245?B．可由函数g(x)?cos4x的图象向右平移个单位而得
247?C．可由函数g(x)?cos2x的图象向右平移个单位而得
245?D．可由函数g(x)?cos2x的图象向右平移个单位而得
619.(2x?3)(1?)6的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）
xA．可由函数g(x)?cos4x的图象向左平移A．?73
B．?61
C．?55
D．?63
10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A．4?
B．8?
2C．16? D．32?
11.设O为坐标原点，点P为抛物线C：y?2px(p?0)上异于原点的任意一点，过点P作斜率为0的直
线交y轴于点M，点P是线段MN的中点，连接ON并延长交抛物线于点H，则
|OH|的值为（ ） |ON|A．p B．
1 2C．2 D．
3 212.若函数y?f(x)，x?M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数
x，都有af(x)?f(x?T)恒成立，此时T为f(x)的类周期，函数y?f(x)是M上的a级类周期函数，
若函数y?f(x)是定义在区间[0,??)内的2级类周期函数，且T?2，当x?[0,2)时，
?121??2x,0?x?1,f(x)??2函数g(x)??2lnx?x2?x?m，若?x1??6,8?，?x2?(0,??)，使
2??f(2?x),1?x?2,g(x2)?f(x1)?0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(??,]
52B．(??,13] 2C．(??,?]
32D．[13,??) 2第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a?(2sin?,cos?)，b?(1,?1)，且a?b，则(a?b)2? ．
?x?2y?0,?14.已知x，y满足约束条件?2x?y?0,则目标函数z?5x?3y的最小值为 ．
?x?4y?18?0,?n?N*，15.在等比数列?an?中，且a4与2a7的等差中项为17，设bn?(?1)nan，则数列?bn?a2?a4?2a1，
的前2024项和为 ．
16.有一个容器，下部是高为5.5cm的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为6cm的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知?ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c?2b?2，2bcosA?acosC?ccosA?0，又点D满足AD?12AB?AC． 33
（1）求a及角A的大小； （2）求|AD|的值．
18.在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且BC?BB1?2，?A1AB??A1AD?60?．
（1）求证：BD?CC1；
（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为7． 1419.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2024年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(?,?)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为??142.75?11.95； ②若Z~N(?,?)，则P(????Z????)?0.6826，P(??2??Z???2?)?0.9544．
22x2y2220.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
ab2（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y?kx?2与椭圆C相交于A，B两点，点D的坐标为(0,)，问直线AD与BD的斜率之和kAD?kBD是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由． 21.已知函数f(x)?e?2(a?1)x?b，其中e为自然对数的底数． （1）若函数f(x)在区间?0,1?上是单调函数，试求实数a的取值范围；
（2）已知函数g(x)?e?(a?1)x?bx?1，且g(1)?0，若函数g(x)在区间?0,1?上恰有3个零点，求
x2x12实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为??x??1?acos?,（?是参数，a是大于0的常数）．以坐
?y??1?asin?标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为??22cos(??（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程； （2）分别记直线l：???4)．
?12，??R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，
试求实数a的值及线段|AB|的长． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?|2x?1|．
（1）求不等式f(x)?10?|x?3|；
（2）若正数m，n满足m?2n?mn，求证：f(m)?f(?2n)?16．
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）答案
一、选择题
1-5:BADAB 6-10:DCBAB 11、12：CB
二、填空题
全国百强校word[衡水金卷]2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理数试题 - 图文
