高中数北师大必修五案：第1章 §1 1.1 数列的概念 Word含答案

§1 数 列 1.1 数列的概念

学习目标：1.了解数列通项公式的概念.2.能根据通项公式确定数列的某一项．(重点) 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．数列的基本概念

阅读教材P3～P4，完成下列问题 (1)数列的有关概念

数列 项 首项 通项 按一定次序排列的一列数叫作数列 数列中的每一个数叫作这个数列的项 数列的第1项常称为首项 数列中的第n项an叫数列的通项 (2)数列的表示 ①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…； ②字母表示：上面数列也可记为{an}． ③数列的分类 分类标准 按项的个数 名称 有穷数列 无穷数列 含义 项数有限的数列 项数无限的数列 举例 1,2,3,4，…，n 1,4,9，…，n2，… 思考：(1)数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？ [提示] 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．

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(2)数列的项和项数有何区别？

[提示] 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1.

2．通项公式

阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题． (1)如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．

(2)数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．

思考：(1)若an＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？

[提示] 因为an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8.

(2)数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？

[提示] 数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．

[基础自测]

1．判断正误

(1)数列中的项不能相等．( )

(2)数列1,2,3,4，…，n－1，只有n－1项．( ) (3)数列1,2,3,4，…，n2是无穷数列．( )

[解析] 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n2共n2项，是有穷数列，故(3)错．

[★答案★] (1)× (2)√ (3)×

2．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝________. [解析] a2＝2×22－3×2＝2. [★答案★] 2

3．数列1,2,3,4,5，…的通项公式为________.

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【导学号：91022000】

[解析] 观察知数列的通项公式为an＝n(n∈N＋)． [★答案★] an＝n(n∈N＋)

[合 作 探 究·攻 重 难]

数列的概念 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？

(1){1,3,5,7,9}；(2)4,3,2,1,0；(3)所有无理数；(4)1,2,3,4，…；(5)2,2,2,2,2. [解] (1)是集合，不是数列；(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来；(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．

[规律方法] 数列及其分类的判定方法

(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数； (2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列.

[跟踪训练]

1．下列说法正确的是( ) A．1,2,3,4，…，n是无穷数列 B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列 C．同一个数在数列中不能重复出现 D．数列{2n＋1}的第6项是13

D [A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列． B错误，数列是有次序的． C错误，数列中的数可以重复出现． D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13.]

根据数列的前n项写出数列的通项公式 根据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式. Ruize

【导学号：91022001】

24681925

(1)3，15，35，63，…；(2)2，2，2，8，2，…； (3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，….

[思路探究] 根据数列的前几项的特点，观察分析找出数列的项an与序号n的关系．

[解] (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．

2n

故an＝.

?2n－1??2n＋1?

1491625

(2)将分母统一成2，则数列变为2，2，2，2，2，…，其各项的分子为n2. n2

∴an＝2. (3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n.

2

(4)通过观察分析可知所求通项公式为an＝9(10n－1)． [规律方法] 由数列的前几项求通项公式的思路

(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系.

(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式.

(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等.

(4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整.

(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系. [跟踪训练]

2．写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)2，0，2，0，2，0，… (2)－1,3，－5,7，－9，… (3)a，b，a，b，a，b，… (4)9,99,999,9 999，…

Ruize

[解] (1)观察数列2，0，2，0，2，0，…的项与序号n的关系，可知其通项公式为an＝1－?－1?n.

(2)观察数列－1,3，－5,7，－9，…的项与序号n的关系，可知其通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．

(3)观察数列a，b，a，b，a，b，…的项与序号n的关系，可知其通项公式?a，n为奇数，为an＝?

?b，n为偶数.

(4)观察数列9,99,999,9 999，…的项与序号n的关系，会发现9＝10－1,99＝102－1,999＝103－1,9 999＝104－1，所以它的通项公式为an＝10n－1.

通项公式的应用 [探究问题] 1．已知数列{an}的通项公式，如何求数列的某一项？

[提示] 把n的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值．

2．已知数列{an}的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？ [提示] 假定这个数是数列中的第n项，由通项公式可得方程，解方程求得n，若n是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n不是正整数，则该数不是数列中的项．

n2－21n

数列{an}的通项公式是an＝2(n∈N＋).

【导学号：91022002】

(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？

(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ [思路探究] (1)令an＝0，an＝1?求n?判断

(2)假设存在连续且相等的两项?列方程?求解?判断 n2－21n

[解] (1)若0是{an}中的第n项，则2＝0， 因为n∈N＋，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项．

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