思致超越 知行合一
全国中考数学试题分类解析汇编
专题23：二次函数的应用（实际问题）
一、选择题
1. （2012四川资阳3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是【 】
A．?1
【答案】D。
【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。 由图象可知：ax22+bx+c<0的解集：
+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5。故选D。
二、填空题
1. （2012浙江绍兴5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y??1(x?4)2?3，由此可知铅球推出的距离是 ▲ m。 12
【答案】10。
【考点】二次函数的应用。
【分析】在函数式y??1(x?4)2?3中，令y?0，得 12Page 1 of 22 让每一个学生超越老师！
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1， (x?4)2?3?0，解得x1?10，x2??2（舍去）
12?∴铅球推出的距离是10m。
2. （2012湖北襄阳3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x，该型号飞机着陆后滑行 ▲ m才能停下来．
【答案】600。
【考点】二次函数的应用。1028458
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。
2
∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值。 ∴s最大值0?602??600，即飞机着陆后滑行600米才能停止。 4???1.5?3. （2012山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 ▲ 秒．
【答案】36。
【考点】二次函数的应用
【分析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同， ∴A，B关于对称轴对称。
则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒。
∴从O到D需要10+8=18秒。∴从O到C需要2×18=36秒。
三、解答题
1. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：
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7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1?2
131x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2= x? x2；72412至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值． （参考数据：
≈15.2，
≈20.5，
≈28.4）
【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，
则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1?将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000， ∴y1?k。 x12000（1≤x≤6，且x取整数）。 x2
根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax+c得：
?49a+c=10049?a=1，解得：。 ??144a+c=10144c=10000??∴y2=x+10000（7≤x≤12，且x取整数）。
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（2）当1≤x≤6，且x取整数时： W=y1?z1+?12000?y1??z2=2
12000 1?12000??312? ?x+?12000?? x? x? ??x2?x??412?2
=﹣1000x+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）+2200。 ∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。 当7≤x≤12时，且x取整数时：
W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x﹣10000）+1.5（x+10000）=﹣∵a=﹣
2
2
12
x+1900。 21＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小， 2∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。 ∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。 （3）由题意得：12000（1+a%）×1.5××（1﹣50%）=18000，
设t=a%，整理得：10t+17t﹣13=0，解得：t=2
17?809。 20∵809≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。 ∴a≈57。
答：a整数值是57。
【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。
（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。
（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a
一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5××（1-50%）=18000，进而求出即可。
2. （2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
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【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)+h，即2=a(0－6)+2.6，∴a2
2
??1 60 ∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= ?（2）当h=2.6时，y= ?12
(x－6)+2.6 6012
(x－6)+2.6 6012
∵当x=9时，y=? (9－6)+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。
6012
∵当y=0时，即? (18－x)+2.6=0，解得x=6+156＞18，∴球会过界。
602?h2
（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)+h得a?。
362?h2?3h2
x=9时，y= (9－6)+h?＞2.43 ①
3642?h2
x=18时，y= (18－6)+h=8?3h≤0 ②
368由① ②解得h≥。
38∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥。
3【考点】二次函数的性质和应用。
【分析】（1）利用h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。
（2）利用h=2.6，当x=9时，y=?即可得出结论。
（3）根据球经过点（0，2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y＞2.43；由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围，即可得出答案。
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(9－6)+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与球场的边界距离比较，603. （2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
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二次函数的应用(实际问题)
