2024-2024年新人教b版高中数学必修一1.2.1《集合之间的关系》
教案
（一）教学目标；1．知识与技能
（1）理解集合的包含和相等的关系.
（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.
（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.2．过程与方法
（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.3．情感、态度与价值观
应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.
（二）教学重点与难点
重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.（三）教学方法
在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.
（四）教学过程教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 师：对两个数a、b，应有a＞b思考：实数有相关系，大小关系，类或a = b或a＜b.创设情境类比生疑，比实数之间的关系，联想集合之间是而对于两个集合A、B它们也存在提出问题 引入课题 否具备类似的关系. A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系. 分析示例：示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系（1）A = {1，2，3} B = {1，2，3，4，5}（2）A = {新华中学高（一）6班的概念形成 全体女生}B = {新华中学高（一）6 班的全体学生}（3）C = {x | x是两条边相等的三角形}D = {x | x是等腰三角形}1．子集：生：实例（1）、（2）的共同特点是A的每一个元素都是B的元素.师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的子集怎样定义呢？学生合作：讨论归纳子集的共性.生：C是D的子集，同时D是C的子集.师：类似（3）的两个集合称为相等集合.师生合作得出子集、相等两概念的数学定义. 通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.初步了解子集、相等两个概念. 一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作“A含于B”（或B包A?B，读作：含A）2．集合相等：若A?B，且B?A，则A=B. 示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：（1）A = Z，B = N；（2）A = {长方形}，B = {平行四边形}；（3）A={x| x2–3x+2=0}，B ={1，2}.1．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合.如果A?B，则Venn图表示为：示例1 学生思考并回答. 生：（1）A?B （2）A?B 概念深化 （3）A = B 再次感知子 集相等关系，师：进一步考察（1）、（2） B A 加深对概念不难发现：A的任意元素都在B的理解，并利中，而B中存在元素不在A中，2．真子集用韦恩图从具有这种关系时，称A是B的真如果集合A?B，但存在元素x∈B，“形”的角度子集. 且x?A，称A是B的真子集，记作A 理解包含关示例3 学生思考并回答. ? ? 系，层层递进≠ ≠ 生：（1）直线x+y=2上的所有点 B (或B A).形成真子集、（2）没有元素 示例3 考察下列集合. 并指出集合空集的概念. 中的元素是什么？师：对于类似（2）的集合称这样（1）A = {(x，y) | x + y =2}.的集合为空集. （2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}.师生合作归纳空集的定义. 3．空集 称不含任何元素的集合为空集，记作?. 规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 师：若a≤a，类比A?A. 若a≤b，b≤c，则a≤c类比. 若A?B，B?C，则A?C. 能力 提升 一般结论： ①A?A. ②若A?B，B?C，则A?C. ③A = B?A?B，且B?A. 师生合作完成： 升华并体会（1）对于集合A，显然A中的任类比数学思何元素都在A中，故A?A. 想的意义. （2）已知集合A?B，同时B?C，即任意x∈A?x∈B?x∈C，故A?C. 应用 例1（1）写出集合{a、b}的所有子集； 学习练习求解，老师点评总结. 通过练习举例 （2）写出集合{a、b、c}的所有子集； 师：根据问题（1）、（2）、（3），（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集个数的探究，提出问题： 子集； 已知A = {a1，a2，a3…an}，求A一般地：集合A含有n个元素 的子集共有多少个？ 则A的子集共有2n个. A的真子集共有2n – 1个. 子集：A?B?任意x∈A?x∈B 加深对子集、真子集概念的理解. 培养学生归纳能力. 归纳 总结 ?任意x∈A?x∈B，真子集：A ? B引导学生整≠ 但存在x0∈B，且x0?A. 师生合作共同归纳—总结—交流理知识，体会集合相等：A = B?A?B且B?A —完善. 知识的生成，空集（?）：不含任何元素的集合 师：请同学合作交流整理本节知发展、完善的性质：①??A，若A非空，则? ? A. 识体系 过程. ≠ ②A?A. ③A?B，B?C?A?C. 课后练习 学生独立完成 课后 作业 备选训练题 例1 能满足关系{a，b}?{a，b，c，d，e}的集合的数目是（ A ）
A．8个 B．6个 C．4个 D．3个
【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.
例2 已知A = {0，1}且B = {x |x?A}，求B. 【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：?，{0}，{1}，{0，1}. 由题意可知B = {?，{0}，{1}，{0，1}}.
例3 设集合A = {x – y，x + y，xy}，B = {x2 + y2，x2 – y2，0}，且A = B，求实数x和y的值及集合A、B.
【解析】∵A = B，0∈B，∴0∈A.
若x + y = 0或x – y = 0，则x2 – y2 = 0，这样集合B = {x2 + y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y≠0，x – y≠0.
?xy?0?∴?x?y?x2?y2 ?22?x?y?x?y?xy?0?或?x?y?x2?y2 ?22?x?y?x?y（I） （II）
由（I）得：??x?0?x?0?x?1或?或? y?0y?1y?0????x?0?x?0?x?1或?或? ?y?0?y??1?y?0由（II）得：?∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去.
当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去. ∴??x?0?x?0或?， y?1y??1??∴A = B = {0，1，–1}.
例4 设A = {x | x2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若B?A，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.
【解析】A = {3，5}，∵B?A，所以
（1）若B =?，则a = 0； （2）若B≠?，则a≠0，这时有
1111?3或?5，即a =或a =. aa3511综上所述，由实数a组成的集合为{0,,}.
53111111其所有的非空真子集为：{0}，{},{},{0,},{0,},{,}共6个.
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