材料力学中构件弯曲变形的研究

材料力学中构件弯曲变形的研究

陈晓罗

【摘 要】在材料力学教学中，根据梁上载荷绘制出梁的弯矩图，是学生学习的难点，其中求弯矩方程是难点中的难点。根据本人的教学实践，就如何准确、简单的求出弯矩方程后绘制正确的弯矩图作一综述。 【期刊名称】黑龙江科技信息 【年(卷),期】2013(000)016 【总页数】1

【关键词】材料力学；弯矩方程；弯矩图

材料力学是从事机械和建筑专业人员必须要研究的问题，它是一门专业性很强的专业基础课。我们研究材料力学问题是一般先理解基本概念和掌握分析方法后，再应用一些解决问题的技巧，就不会感觉很抽象了。材料力学主要研究构件在外力作用下所能承受的强度、刚度和稳定性问题，这些问题都与构成构件的材料和所受外力有关，在日常生活中，构件发生弯曲变形的情形最多，比如车辆上的防震弹簧要求有足够大的变形才能缓解车辆受到冲击和振动；横跨河流的桥梁受到的也是弯曲变形。

下面我们主要论述构件在受到外力作用产生弯曲变形时，绘制构件的弯矩图时应用的基本方法和技巧。正确分析出弯矩后就能解决构件的强度问题了。 与弯曲有关的概念有梁，支座等。以弯曲变形为主的杆件称为梁。支撑梁的结构统称为支座。支座的类型一般有固定铰链支座、活动铰链支座和悬臂端，各种支座都有各自的受力特点。梁弯曲问题中最简单的是平面弯曲。梁产生弯曲变形后，任意横截面上的弯矩随着横截面的位置变化而变化。若取梁的轴线为

x 轴，横坐标x 值表示截面位置（x 坐标轴原点一定是梁的最左端），则任意截面上的弯矩就可以用x 的函数表达，即M（x）为该截面的弯矩方程。为了能直观地表达各截面弯矩大小，根据弯矩方程绘制的图线成为弯矩图。 绘制弯矩图的基本方法和步骤： （1）求梁的支座反力。

（2）梁的分段：在集中力、集中力偶作用点分段；在分布载荷边界和变化处进行分段（对均布载荷而言，在其边界处分段）。 （3）求出各段的弯矩方程，一定要明确其定义域。 （4）根据各段弯矩方程绘制弯矩图。

求梁的支座反力是应用静力学的知识。这里一定注意梁的支座类型，绘制出各支座反力图，然后根据平衡方程求出各支座反力。如果梁上作用已知的集中力偶时，在求支座反力时，不论以哪点为矩心，该已知力偶的大小及方向就已经确定。如果梁上作用均布载荷，载荷密度为q，作用长度为l。先把该均布载荷“简化”为集中力，力的大小等于F=ql，作用点在均布载荷作用长度的中点，简化后集中力方向与均布载荷方向相同，这样简化后就很容易求出未知的支座反力。

在求某一截面的弯矩时，不论外载荷方向如何，均假设该截面的弯矩为正，然后把该截面的弯矩看作为分离体上的“外力”，以截面形心为矩心列平衡方程求截面弯矩。这里我们以截面形心为矩心，目的是免去求截面剪力的情况下就可以直接求出弯矩。若以其它点为矩心的话，要先求出截面的剪力后才能就弯矩，这样会使所求弯矩值的出错率增加。在求弯矩方程时，一定要注意确定截面位置的x，不论支座情况如何，是梁的最左端到截面的距离。

绘制弯矩图时首先根据弯矩方程判断弯矩图的形状，再通过计算若干控制截面（如各段的首尾截面）的弯矩值，然后描点绘制出弯矩图。 弯矩图形状与梁上作用载荷的类型是有关系的。其关系如下： （1）梁上某段无载荷时，弯矩图为直线。 （2）梁上作用均布载荷时，弯矩图为抛物线。

（3）在集中力F 作用弯矩图发生转折（弯矩图连续）。

（4）弯矩图在集中力偶M 作用处突变，突变值为集中力偶的大小。在从左向右画时，集中力偶M 为顺时针方向是，弯矩图向上突变；反之向下突变。 利用这些规律，可以检查弯矩图绘制的是否正确，也可以不必列弯矩方程，直接快捷地绘制弯矩图的形状。下面通过一道例题体会一下这些方法与技巧。 绘制梁的弯矩图，M=2q。如图1。

（1）求支座反力。取AB梁为研究对象，固定端A有2个约束反力和1个力偶如图2，由平衡方程得：

∑MA=0，MA-M-10q=0，MA=12q ∑Fy=0，FAY-2q=0，FAY=2q ∑FX=0，FAX=0

（2）由于在D处作用集中力偶，在CB段作用均布载荷，AB梁分为三段：AD、DC、CB。

（3）建立各段弯矩方程。 BC 段：M=-q（x-6）2/2 DC 段：M=2q（x-5） AD 段：M=2q（x-6）