.
所以．
所以．
所以平面B′A′D与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值为．
20．已知椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F
，C1与C2的公共弦长为2
．
重合，且点F到直线x﹣y+1=0的距离为（1）求椭圆C1的方程及点F的坐标；
（2）过点F的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于C，D两点，求范围．
【考点】椭圆的简单性质．
+的取值
【分析】（1）求得抛物线的焦点，可得c=，再由点到直线的距离公式可得c=1，可得焦点F，求得抛物线的方程，设出
设C1与C2的公共弦端点为（m，n），（m，﹣n），（m，n＞0），由弦长求得交点坐标，代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过F（1，0）的直线为x=my+1，代入抛物线的方程y2=4x，椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|CD|，|AB|，求得
+
，化简整理，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），
.
.
即有c=，
点F到直线x﹣y+1=0的距离为即有c=1，p=2，即F（1，0）； 即有y2=4x，
设C1与C2的公共弦端点为（m，n），（m，﹣n），（m，n＞0）， 则2n=2将（，
，可得n=
，m=，
+
=1，
，可得d=
=
，
）代入椭圆方程可得，
，
又a2﹣b2=1，解得a=3，b=2即有椭圆的方程为
+
=1；
（2）设过F（1，0）的直线为x=my+1， 代入抛物线的方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0， 由弦长公式可得|CD|=
?
=4（1+m2），
由x=my+1代入椭圆方程8x2+9y2=72，可得 （8m2+9）y2+16my﹣64=0， 由弦长公式可得|AB|=
?
=，
可得+=+=+，
由1+m2≥1，可得0＜即有
+
≤， ]．
的取值范围为（，
21．已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（x＞0，a∈R，b∈R），
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0，求f（x）的极值； （Ⅱ）若b=1，是否存在a∈R，使f（x）的极值大于零？若存在，求出a的取值范围；若不
.
.
存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的表达式，从而求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，又由切线方程可知，
，斜率
，
，f'（1）=1+2a+b﹣﹣﹣﹣﹣
所以解得，所以﹣﹣﹣﹣﹣
所以，
当x＞0时，x，f'（x），f（x）的变化如下： x f'（x） f（x）
（0，2）
+ ↗
2 0 极大值
（2，+∞）
﹣ ↘
所以f（x）极大值=f（2）=ln2﹣1，无极小值．﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）依题意，f（x）=lnx+ax2+x，所以
①当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故无极值；﹣﹣﹣﹣ ②当a＜0时，令f'（x）=0，得2ax2+x+1=0，则△=1﹣8a＞0，且两根之积不妨设x1＜0，x2＞0，则范围．﹣﹣﹣﹣﹣ 由方程组
消去参数a后，得
，﹣﹣﹣﹣
，
，即求使f（x2）＞0的实数a的取值
构造函数，则，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
，解得﹣1＜a＜0．
又g（1）=0，所以g（x）＞0解得x＞1，即由①②可得，a的范围是﹣1＜a＜0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
.
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点． （1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为求点P到线段AB中点M的距离．
【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置．
【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1?t2，根据|AB| =
?|t1﹣t2|=5
，运算求得结果．
=． 由t的几何意义
，
它与曲线C：（y
（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 可得点P到M的距离为|PM|=
?||，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0， 设A，B对应的参数分别为 t1 和t2，则 t1+t2=所以|AB|=
?|t1﹣t2|=5
，t1?t2 =﹣．
=
．
（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2）， 根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=
选修4-5：不等式选讲]
23．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1． （Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8； （Ⅱ）证明：
【考点】不等式的证明． 【分析】（Ⅰ）利用
，相乘即可证明结论．
．
=．
?||=
．
.
.
（Ⅱ）利用，
，相加证明即可．
，，
【解答】证明：（Ⅰ）
相乘得：（1+a）（1+b）（1+c）≥8abc=8．
，
实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（1+a）（1+b）（1+c）≥8﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）
， ， ，
相加得：
﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ，
.
辽宁省大连市育明高中2017届高三（上）期末数学试卷（理科）-Word版含解析WORD版
