辽宁省沈阳市2024-2024学年高二下学期期中考试
数学（理科）试题
考试时间120分钟 试卷满分120分
一．选择题（共12小题） 1．(3?i)?（ ）
A．?8?6i B．8?6i C．8?6i D．?8?6i 2．复数z?23?i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（ ） 1?iA．?1 B．?2 C．?i D．?2i 3．下列求导计算正确的是（ ）
lnx'lnx?1log2e' B． )?(logx)?22xxx'x'x1C．(2)?2 D．(xsinx)?cosx
ln2A．(
4．记I为虚数集，设a、b?R,x、y?I．则下列类比所得的结论正确的是（ ） A．由a?b?R，类比得x?y?I B．由a?0，类比得x?0 C．由(a?b)?a?2ab?b，类比得(x?y)?x?2xy?y D．由a?b?0?a??b，类比得x?y?0?x??y 5．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法； ⑤若z?C，且|z?2?2i|?1，则|z?2?2i|的最小值是3． A．①③④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②⑤
22222222lnx在点(1,0)处的切线与直线x?ay?1?0垂直，则a?（ ）A．?2 B．2 x?111C．? D．
226．设曲线y?7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种
A．72 B．84 C．96 8．用数学归纳法证明“4对42k?12n?1 D．120
?3n?1(n?N*)能被13整除”的第二步中，当n?k?1时为了使用归纳假设，
?3k?2变形正确的是（ ）
2k?1A．16(4C．(42?3k?1)?13?3k?1 B．4?42k?9?3k
2k?1?3k?1)?15?42k?1?2?3k?1 D．3(42k?1?3k?1)?13?42k?1
859．(2x?x?1)的展开式中x的系数是（ ）
A．-1288 B．1280 C．1288 D．﹣1280
10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ） A．C?C1050510 B．
105C50?C101052552 C．C50?C10?A2 D．C50?C45?A2 211．函数f(x)是定义在区间(0,??)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且满足f'(x)?等式
2f(x)?0，则不x(x?2024)f(x?2024)3f(3)的解集为（ ） ?3x?2024A．{x|x??2015} B．{x|x??2015}
C．{x|?2024?x?0} D．{x|?2024?x??2015}
12．若函数f(x)?ax?2x?x?1在(1,2)上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ） A．a??32355353 B．a?? C．??a?? D．??a?? 433434二．填空题（共4小题） 13．(x?26)的展开式中，常数项为 ． x2n?114．将数列{3}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100
组中的第一个数是 ． 15．定积分
?10(1?(x?1)2?x)dx等于 ．
2x16．已知函数f(x)?(x?a)?(e?)，若存在x0，使得f(x0)?三．解答题（共6小题）
ae24，则实数a的值为 ． e2?117．（10分）已知复数z?1?mi（i是虚数单位，m?R），且z?(3?i)为纯虚数（z是z的共轭复数）．（1）设复数z1?m?2i，求|z1|； 1?ia?i2017（2）设复数z2?，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
z18．（12分）（1）用分析法证明：6?22?5?7；
（2）用反证法证明：2，3，5，不能为同一等差数列中的三项．
19．（12分）已知数列{an}满足：nan?1?(n?2)(an?1)，且a1?6． （1）求a2,a3,a4的值，并猜想{an}的通项公式； （2）试用数学归纳法证明上述猜想． 20．（12分）已知函数f(x)?lnx． x（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）已知a、b?R，a?b?e（其中e是自然对数的底数），求证：b?a．
21．（12分）（1）设(3x?1)展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A?B?272，求展开式中的x项的系数．
（2）若(?2x)展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)的展开式中系数最大的项？
13nab12n12na(x2?1)x,g(x)?22．（12分）设函数f(x)?． xxee（Ⅰ）求函数F(x)?x?2单调递减区间； g(x)（Ⅱ）若函数G(x)?f(x)?g(x)(a?0)的极小值不小于?
3，求实数a的取值范围． e2
辽宁省沈阳市2024-2024学年高二下学期期中考试
数学（理科）试题参考答案
一．选择题（共12小题） 1．（3﹣i）＝（ ） A．﹣8﹣6i
B．8+6i
2
2
2
C．8﹣6i D．﹣8+6i
【解答】解：（3﹣i）＝9﹣6i+i＝8﹣6i． 故选：C． 2．复数A．﹣1 【解答】解：∵
，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（ ）
B．﹣2 ＝
C．﹣i
，
D．﹣2i
∴复数z的虚部为﹣1． 故选：A．
3．下列求导计算正确的是（ ） A．
B．
C． D．（xsinx）′＝cosx
，C选项应为2ln2，
x【解答】解：A选项应为
D选项应为sinx+xcosx．
故选：B．
4．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（ ） A．由a?b∈R，类比得x?y∈I B．由a≥0，类比得x≥0
C．由（a+b）＝a+2ab+b，类比得（x+y）＝x+2xy+y D．由a+b＞0?a＞﹣b，类比得x+y＞0?x＞﹣y
【解答】解：A：由a?b∈R，不能类比得x?y∈I，如x＝y＝i，则xy＝﹣1?I，故A不正确；
2
2
2
2
2
2
2
2
B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x＝i，则x2＜0，故B不正确；
C：由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2．故C正确；
D：若x，y∈I，当x＝1+i，y＝﹣i时，x+y＞0，但x，y 是两个虚数，不能比较大小．故D错误
故4个结论中，C是正确的． 故选：C．
5．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理； ③类比推理是由特殊到一般的推理； ④分析法是一种间接证明法；
⑤若z∈C，且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3． A．①②③④
B．②③④
C．①②④⑤
D．①②⑤
【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确； 演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确； 类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误； 分析法是一种直接证明法，故④错误；
|z+2﹣2i|＝1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1＝3，故⑤正确 故选：D． 6．设曲线y＝A．﹣2
在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则a＝（ ）
B．2 C．﹣
D．
【解答】解：由题意得，
＝（x＞0），
∵在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直， ∴
＝﹣a，解得a＝
，
故选：C．
7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种
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