2024-2024年高三第二次模拟考试数学理试题（A卷） 含答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
1．若集合A={x∈R|x+1＞0 }，集合B={x∈R|（x-1）（x+2）＜0 }，则A∩B= A．（-1,1） B．（-2，-1） C．（-∞，-2） D．（1，+∞）,
a＋ia＋i2．若（a∈R）是纯虚数，则||=
1－i1－i
A．i B．1 C．2 D．2
3．函数y=sinxsin(
?2?x)的最小正周期是
D．4?
→
→
?
A． B．2? C．?
2
→→
→
→
→→
→
4．已知平面向量a, b满足|a|=1，|b|=2，且（a+b）⊥a，则a，b的夹角为 2??
A． B． 32
??
C． D．
36
D．0.477
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ＞2)=0.023，则P(-2≤ξ≤2)=
A．0.997 B．0.954 C．0.488 6．设l为直线，?，?是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若l∥?，l∥?, 则?∥? B．若l⊥?，l⊥?, 则?∥? C. 若l⊥?，l∥?, 则?∥? D. 若?⊥?，l∥?, 则l⊥?
?0≤x＋y≤20
7．设变量x,y满足不等式组?，则2x+3y的最大值等于
?1≤y≤10 A．1
B．10
C. 41 D．50
8．给出以下命题：①?x∈R, sinx+cosx＞1；②? x∈R, x2-x+1＜0；③“x＞1”是“|x|＞1 ”的充分不必要条件；④A．0
??0cosxdx?0 .其中假命题的个数是
B．1 C．2
D．3
?9．已知数列{an}中，a1?25,4an?1?4an?7(n?N)，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为
765705
A．15 B．750 C． D． 42
3310．已知四棱锥P-ABCD是三视图如图所示，则围成四棱锥P-ABCD
的五个面中的最大面积是 A．3 B．6
C．8 D．10 11．已知点Q在椭圆C：
正视图422侧视图xy→1→→??1上，点P满足OP=(OF1+OQ)(其中
2161022俯视图 O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点），则点P的轨迹为
A．圆 B．抛物线 C．双曲线
D．椭圆
12．若函数y1?sin2x1?3(x1?[0,?])，函数y2?x2?3, 则(x1?x2)2?(y1?y2)2的最小值为 2222(??33?15)(??18)(??18)2?
A． B． C． D． 12727212二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．执行右边的程序框图，若输入n=6，m=3,那么输出的p等于 . 14．函数f(x)=2lnx+x2在x=1处的切线方程是 . 15．把5名新兵分配到一、二、三3个不同的班，要求每班至少有一名
且甲
必须分配在一班，则所有不同的分配种数为 .
216．等比数列{an}的公比0＜q＜1，a17?a24,则使a1?a2??an ＞
11??a1a2?1成立的正整数n的最大值为 . an三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
25310
在?ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且cosA=，cosB=. 510
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若?ABC的面积为1，求abc．
18．（本小题满分12分） 今年来，随着地方经济的发展，劳务输出大省四川、河南、湖北、安徽等地的部分劳务人员选择了回乡就业，因而使得沿海地区出现了一定程度的用工荒.今年春节过后，沿海某公司对来自上述四省的务工人员进行了统计（见下表）： 省份 人数 四川 45 河南 60 湖北 30 安徽 15 为了更进一步了解员工的来源情况，该公司采用分层抽样的分法从上述四省工人员工中随机抽50名参加问卷调查. （Ⅰ）从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名，求这两名来自同一个省份的概率； （Ⅱ）在参加问卷调查的50名务工人员中，从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两名，用ξ表示抽得四川省务工人员的人数，求ξ的分布列和数学期望.
19．（本题满分12分）
ADCE1
已知?ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足==.将?ADE
DBEA2沿DE折起到?1ADE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED. （Ⅰ）求证：A1D⊥EC；
（Ⅱ）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．
20．（本小题满分12分）
A1ADEBCx2y226
设椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为e=，且过点（-1，- ）.
22ab （I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的左顶点是A，若直线l:x?my?t?0与椭圆E相交于不同的两点M、N(M、N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该
定点的坐标.
21．（本小题满分12分） 设函数f(x)?alnx?1?a(a?R)（自然对数的底数e=2.71828…）. x （Ⅰ）当a＞0时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若函数f(x)的最小值恒小于e,求实数k的取值范围；
k+1
（Ⅲ）当a＜0时，设x1＞0，x2＞0，且x1≠x2，试比较f(
x1?x2f(x1)?f(x2))与的大小. 22
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