例谈昆明中考数学压轴题常考的三类问题

例谈昆明中考数学压轴题常考的三类问题

王惠

【期刊名称】《课程教材教学研究（中教研究）》 【年(卷),期】2017(000)011 【总页数】4页(P60-63) 【作 者】王惠

【作者单位】云南师范大学附属世纪金源学校 【正文语种】中 文 【中图分类】教科文艺

中教研究 2017.11～12压轴题的知识覆盖面广，综合性强， 难 度系数大， 它既考查学生对数学基础知识的 掌握， 又考查学生对数学方法的应用， 特别 注重考查学生创新能力的发挥和利用数学 知识解决实际问题的能力。压轴题有较大 的区分度， 因此， 它是中考选拔功能的集中 体现， 很多考生对压轴题望而却步。 其实， 对 昆明近十年来中考数学的压轴题进行分析 并归纳，可以发现常考的题型主要有三类： 面积最值问题、 特殊图形存在性问题、 三角 形相似的存在性问题。只要教师从本质上 认识压轴题， 了解压轴题， 有的放矢， 相信大 部分考生会在这道题上有所突破。

一、面积最值问题此类问题是昆明市近几年中考数学试 卷中常见的题型 （ 2016 年 23 题 （ 2 ） 、 2014 年 23题 （ 2 ） ） ， 难度不大， 一般处于压轴题的第（ 2 ） 题。这类题主要考查在坐标系中， 某平 面图形 （以三角形为主 ） 面积的

最大或最小 值问题。此类问题的解决方法是过动点作 一条与 y 轴平行的直线， 将原图形分割成两 个等底的三角形或梯形， 将面积表示为关于 动点自变量的二次函数， 再利用二次函数的 性质求出最值。 这种题型将初中几何问题和 代数问题完美结合在一起， 考生要具有较好的函数应用能力， 才能顺理成章地解决此类问题。 例 1 （ 2016 昆明卷第 23 题 ） 如图 1， 对称轴为直线 x= 12的抛物线经过 B （ 2， 0 ） 、 C（ 0， 4 ） 两点， 抛物线与 x 轴的另一交点为 A。（ 1 ） 求抛物线的解析式；（ 2 ） 若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 COBP 的面积为 S， 求 S 的最大值；（ 3 ） 如图 2， 若 M 是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q， 使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？ 若存在， 求出点 Q 的坐标； 若不存在， 请说明理由。图 1 图2 c y A OBOyA cx解析： 本题第 （ 2 ） 问的 P 点在抛物线 BC上，四边形 COBP 为坐标系中的动态四边形。 此题需要以 P 的横坐标为自变量，四边形 COBP 的面积为函数， 得出二次函数的表达 式，再根据二次函数的性质求最值。对于此例谈昆明中考数学压轴题常考的三类问题 ◆云南师范大学附属世纪金源学校 王 惠考试复习60压轴题的知识覆盖面广，综合性强， 难度系数大， 它既考查学生对数学基础知识的掌握， 又考查学生对数学方法的应用， 特别注重考查学生创新能力的发挥和利用数学知识解决实际问题的能力。压轴题有较大的区分度， 因此， 它是中考选拔功能的集中体现， 很多考生对压轴题望而却步。 其实， 对昆明近十年来中考数学的压轴题进行分析并归纳，可以发现常考的题型主要有三类：面积最值问题、 特殊图形存在性问题、 三角形相似的存在性问题。只要教师从本质上认识压轴题， 了解压轴题， 有的放矢， 相信大部分考生会在这道题上有所突破。一、此类问题是昆明市近几年中考数学试卷中常见的题型 （ 2016 年 23 题 （ 2 ） 、 2014 年23题（ 2 ）），难度不大， 一般处于压轴题的第（ 2 ） 题。这类题主要考查在坐标系中， 某平面图形 （以三角形为主 ） 面积的最大或最小值问题。此类问题

的解决方法是过动点作一条与 y 轴平行的直线， 将原图形分割成两个等底的三角形或梯形， 将面积表示为关于动点自变量的二次函数， 再利用二次函数的性质求出最值。 这种题型将初中几何问题和代数问题完美结合在一起， 考生要具有较好问题。例1（ 2016 昆明卷第 23 题 ） 如图 1， 对（ 0，4两点， 抛物线与 x 轴的另一交点为 A。在轴是否存在这样的点 Q， 使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？ 若存在，求出点 Q 的坐标； 若不存在， 请说明理由。图cA四边形 COBP 为坐标系中的动态四边形。此题需要以 P 的横坐标为自变量，四边形COBP 的面积为函数， 得出二次函数的表达式，常考的三类问题◆云南师范大学附属世纪金源学校 王 惠类问题有两点解题技巧： 1.寻找横竖三角形 （或梯形 ） ； 2.面积分割。具体做法是在第一 象限内抛物线上任取一点 P （横坐标为 m， 纵坐标为二次函数的表达式，其中用 m 表 示y ） ， 过 P 作 PD⊥x 轴， 垂足为点 D， 线段PD将四边形 COBP 分成一个直角梯形和一 个直角三角形， 表示出面积 S， 化简后 S 是 关于 m 的二次函数， 求最值即可。 解：（ 1 ） 略。（ 抛物线的解析式为： y=－2x2+2x+4 ） （ 2 ） 如图： yA C O DBP x设点 P （ m， －2m2+2m+4 ） ， 过 P 作 PD⊥x轴， 垂足为 D， ∴S=S 梯形+S△PDB= 1 2m （ －2m2+2m+4+4 ） +1 2 （ －2m2+2m+4 ） （ 2－m ）=－

2m2+4m+4=－2 （ m－1 ） 2+6∵－2＜0 ∴S 有最大值， 则 S 最大=6；这类题考查方法比较固定， 因此难度系 数不大， 只要考生掌握好基本解题思路， 熟练 使用二次函数的性质， 这类题型拿到满分的 概率还是比较大的。

二、特殊图形的存在性问题这类问题是新课改以来各省中考数学 的传统问题， 在每年的中考试题中层出不穷， 也是昆明中考数学的考查重点，出现于 2016 年 23 题 （ 3 ） 、 2013 年 23 题 （ 3 ） 、 2012 年23 题 （ 3 ） 。 这类题的命题特点是在坐标系中，当题目中某些点所构成的图形是特殊几何图形时， 求这些点的坐标， 有时它的提问是：是否存在点， 使其满足特殊的几何图形。 其实这两种提