立体几何大题
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．
C C
D
B A B
A 第1题图 第1题图
（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值． 解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．
∵ △ABC是等腰直角三角形，
? AD?DB?22?cm?,
又∵ AD⊥DC，BD⊥DC．
∴ ∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．
? AD?DB?22, 当AB?4cm时,有
AD2?DB2?AB2. ? ?ADB?90?.
（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件 ∵ △ABC为正三角形，且 AD＝BD＝CD．
∴ 三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC， ∴ DP与平面内任意一条直线都垂直． （3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有VA?BCD?VO?BCD?VO?ADC?VO?ABD?VO?ABC代入得r?最大的小球半径为
32?6，即半径332?6． 3
2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC； （Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积； （Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴D1D⊥ABCD.
连AC，又底面ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，
由三垂线定理知 D1B⊥AC. 同理，D1B⊥AE，AE∩AC = A， ∴D1B⊥平面AEC .
解（Ⅱ）VB－AEC = VE－ABC . ∵EB⊥平面ABC，
∴EB的长为E点到平面ABC的距离. ∵Rt△ABE ~ Rt△A1AB，
AB2?9∴EB =AA4.1
1∴VB－AEC = VE－ABC =3S△ABC·EB
119 =3×2×3×3×4 27 =8. （10分）
解（Ⅲ）连CF，
∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，
由三垂线定理知，CF⊥AE .
于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，
BA?BE在Rt△ABE中，BF =
AE?95， 5在Rt△CBF中，tg∠BFC =3，
5∴∠BFC = arctg3.
5即二面角B—AE—C的大小为arctg3.
3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点
M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形. （I）求证：点M为BC的中点； （Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离； （Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值. 答案：（I）证明：∵△AMC1是以点M为直角 顶点的等腰直角三角形，
A1
C1
B1
A
C
B
M 第3题图
∴AM⊥MC1且AM=MC1
∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中， 有CC1⊥底面ABC.
∴C1M在底面内的射影为CM， 由三垂线逆定理，得AM⊥CM.
∵底面ABC是边长为1的正三角形， ∴点M为BC中点. （II）解法（一）
过点B作BH⊥C1M交其延长线于H. 由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB， ∴AM⊥平面C1CBB1.
∴AM⊥BH. ∴BH⊥平面AMC1. ∴BH为点B到平面AMC1的距离. ∵△BHM∽△C1CM. AM=C1M=
32, 在Rt△CC1M中，可求出CC1. 221BHBMBH6???2?BH?. ?CC1C1M62322解法（二）
设点B到平面AMC1的距离为h. 则VB?AMC1?VA?BMC1
由（I）知 AM⊥C1M，AM⊥CB， ∴AM⊥平面C1CBB1 ∵AB=1，BM=
132,可求出AM?MC1?,CC1?. 22211S?AMC1?h?S?C1MB?AM 33113311123???h????? 322232222h?6 6（III）过点B作BI⊥AC1于I，连结HI.
∵BH⊥平面C1AM，HI为BI在平面C1AM内的射影. ∴HI⊥AC1，∠BIH为二面角M—AC1—B的平面角. 在Rt△BHM中，
BH?61,BM?, 62∵△AMC1为等腰直角三角形，∠AC1M=45°.
∴△C1IH也是等腰直角三角形. 由C1M=
3323,HM?BM2?BH2?,有C1H?. 2636. 3∴HI??tg?BIH?BH1?. HI24．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE； （Ⅱ）求多面体ABCDE的体积； （Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值． 证：（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有
1FM//DE//AB．
2∴四边形AFMB是平行四边形． ∴AF//BM，
∵BM?平面BCE， AF?平面BCE， ∴AF//平面BCE．
（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD， 则DE⊥AF．
又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．
又BM//AF，则BM⊥平面CDE．
VABCDE?VB?ACD?VB?CDE?323????2?3． 33213211AB??2???2?2?BM3432
（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．
由DE⊥平面ACD，CG?平面ACD， 则DE⊥CG，又AD∩DE=D， ∴CG⊥平面ADEB．
作GH⊥BE于H，连结CH，则CH⊥BE． ∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，则CG?∴S?GBE?3，
1113(1?2)?2??1?1??2?1?． 2222不难算出BE?5．
313． ?5?GH?，∴GH?225CG15?∴tg?CHG?． GH3∴S?GBE?5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；
（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积. （Ⅰ）连结AC，AN. 由BC⊥AB，AB是PB在
底面ABCD上的射影. 则有BC⊥PB. 又BN是Rt△PBC斜边PC的中线， 即BN?1PC. 2 由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，
则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，
1PC 2?AN?BN
即AN?又∵M是AB的中点， ?MN?AB
（也可由三垂线定理证明）
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.
则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角
由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中点，
则有DN⊥PC
又∵平面MND⊥平面PCD于ND， ∴PC⊥平面MND ∴PC⊥MN， 而N是PC中点，则必有PM=MC.
11??a2?c2?b2?c2.?a?b 此时tg?PDA?1,?PDA?.
444?即二面角P—CD—A的大小为
41∥ （Ⅲ）VD?AMN?VN?AMD，连结BD交AC于＝O，连结NO，则NO PA. 且NO⊥
2平面AMD，由PA=a
?VN?AMD?123S?AMD?NO?a. 324A1
D1 B1
P D A
B M
第6题图
N C1
6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N 分别为棱DD1、AB、BC的中点。 （I）求二面角B1—MN—B的正切值； （II）证明：PB⊥平面MNB1；
（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足 “有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，
C
高考数学-立体几何大题30题
