图1
以水流方向为x轴正方向，武昌汉阳门垂直向上为y轴正方向，起点为坐标原点建立直角坐标系。根据题意和模型假设可知，如图1，水流速度为常数时，参赛者的运动轨迹应该是一条直线。则可根据几何关系，建立下面的关系式：
?dx?ucos??v,x(0)?0,x(T)?L??dt ??dy?usin?,y(0)?0,y(T)?H??dt (1)
要使(1)式有解，则有：
T?LH? (2)
ucos??vusin?由(2)式变形可得：
L?ucos???v??T ?3? ??usin??H??T1) 将u和?作为未知量求解(3)式得：
22?L?vT??H???u????????T??T? ???L?????arccos?v?u???T?????? (4)
在问题一的第一小问中，2002年第一名的成绩是14分8秒，即T=848s。又已知河面宽H=1160m，水平位移L=1000m，水流速度v=1.89m/s，代入(4)式，通过matlab求解得：
u?1.5416m/s，??117.4558?
即2002年第一名参赛时的游泳速度是1.5416米每秒，游泳方向则是沿着与水流方向夹角为117.46度方向。
2) 将T和?作为未知量求解(3)式得：
?Lv?(u2H2?u2L2?v2H2)?T??v2?u2 (5) ????arccos??L?v?u?????T??????在问题一的第二小问中，游泳者的速度u=1.5m/s。又已知河面宽H=1160m，水平位移L=1000m，水流速度v=1.89m/s，代入(5)式，通过matlab求解得：
T?910.4595s，??121.8548?
即游泳者的速度为1.5米每秒时，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为121.8548度方向，其成绩为910.4595秒。
2. 1)
问题二模型的建立与求解： 将T和u作为未知量求解(2)式得：
L?T???ucos??v (6) ?H?u??Tsin?? 根据问题二中的条件可知，游泳者始终以和岸边垂直的方向游，即??90?。又已知河面宽H=1160m，水平位移L=1000m，水流速度
v=1.89m/s，代入(6)式，通过matlab求解得：
T?529.1005s，u?2.1924m/s
即游泳者始终以和岸边垂直的方向游时，游泳者的速度需要达到2.1924米每秒，才能在529.1005秒时到达终点。而游泳者的速度显然不可能达到2.1924米每秒，因此游泳者不能到达终点。
2)
在(5)式中，我们给出了关于T的表达式：
Lv?(u2H2?u2L2?v2H2) (7) T?v2?u2显然，选手能到达终点的充要条件是T存在实根，故有：
u2H2?u2L2?v2H2?0 (8)
即能够成功到达终点的选手的条件是其速度u满足下式：
u?vHH?L22 (9)
根据题目所给条件，1934年竞渡的直线距离为5000m，河面宽H=1160m，假设当时的水流速度v?1.89m/s,代入(9)式，通过matlab求解得：
u?0.4385m/s
即在此条件下，选手速度只要大于0.4385米每秒就能成功到达终点。
而对于2002年，河面宽H=1160m，水平位移L=1000m，水流速度v=1.89m/s，代入(9)式，通过matlab求解得：
u?1.4315m/s
即在此条件下，选手速度要大于1.4315米每秒才能成功到达终点。
显然，1934年的比赛所确定的水平距离比2002年的比赛所确定的水平距离大得多，使得1934年的比赛对能够成功到达终点的选手的能力要求较低，而2002年的比赛对能够成功到达终点的选手的能力则要求较高，从而造成了1934年和2002年到达终点的人数的百分比有了如此大的差别。
3.
问题三模型的建立与求解
图2
根据题意和模型假设，我们可以依据水流的变化将游泳者竞渡的整个过程分为如图2所示的三段过程，则有以下关系：
Hi?T??iusin?i??Hi(ucos?i?vi) i?1,2,3. (10) ?Li?usin?i??L?L??i?又由已知条件可知：
?H1?200?0?200m?H?960?200?760m?2?H3?1160?960?200m??L?1000m (11) ??v1?1.47m/s??v2?2.11m/s?v3?1.47m/s??u?1.5m/s将(11)式中各量的值代入(10)式中可得：
??T2001??1.5sin?1??T7602??1.5sin?2??T3?200?1.5sin?3??L?200(1.5cos?1+1.47) ?11.5sin?1??L?760(1.5cos?2+2.11)?21.5sin?2??200(1.5cos?L?3+1.47)3?1.5sin??3?L1?L2?L3?1000?根据(12)式所给关系，我们可以建立以下优化模型，从而借助lingo软件解决问题三：
目标函数：min T??Ti
??LiS.T??1000???????? ?i?2,???运用lingo软件求解上述优化模型得：
(12)
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 D题（抢渡长江） 论文
