发表在《中学生数学》杂志
“五角星”的五个角的度数之和的一组变式
浙江省宁波市镇海应行久外语实验学校 余满龙(315200)
如图1是我们大家非常熟悉的我国国旗图案,国旗上有五颗美丽的五角星，你知道每一颗五角星的五个角的度数之和是多少度吗要回答这个问题不难,因为国旗上每一个五角星都是正五角星,如图2所示,它的每一个角都是36,即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36，故有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180.如图3,在一般的五角星中上述关系还成立吗写出你的结论,并简要说明你的理由.
BAE???图2
图1
CD图3
在这里我们先了解一个有用的基本图形与相关的一个结论:
大家知道,在图4中,∠3＝∠1＋∠2(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
3CD12OAB图6
图4
图5
(1)基本图形:图5;(2)结论:∠A＋∠B＝∠C＋∠D(证明请同学们自己完成). 对于图3,我们连结CD,得图6,这里构造了图5这个基本图形,所以∠B＋∠E＝∠1＋∠2,这样5个顶角的和等于△ACD的三个内角的和180.
?【变式1】当A向下移动到BE上时，五个角的和（∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E） 有无变化
B AEBEABCAEBCEA
CDC4 D【变式2】当点A进一步向下移动至如图所示的位置，五个角的和（∠CAD+∠变式B+∠C+变式1 变式3 变式2 DD∠D+∠E）有无变化
【变式3】将A，C同时移动至如图所示的位置，五个角的和（∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化
【变式4】将A，C同时移动至如图所示的位置，五个角的和（∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化
对于上述四个变式,五个角的和180都没有变化.事实上,对变式1、2,我们仍都连结CD,5个角的和等于△ACD的三个内角的和180;对于变式3、4,我们都连结DE,5个角的和等于△BDE的三个内角的和180.
利用图5这个基本图形及结论,我们可以解决很多类似的问题.
【变式5】如果截去五角星的一个角请你求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E+∠F的度数.
AFE???BCD变式5
1＋∠2,
对于变式5,我们连结BC, 如下图,则∠A＋∠D＝∠这样六个角的和等于四边形BCEF的内角和360.
动手试一试,显显你的能力:
?变式6.求图7(1)、图7(2)、图7(3)中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数吗
DAFDAFEABECFD
BECC图7(3)
图7(1) B图7(2)
变式7.如图8，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数. 变式8.如图9,求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I的度数.
HCAGDFECFGADEIHBB参考答案:
如图8 如图9
变式6.图7(1)直接利用图5的基本图形及结论,7(2)、7(3)中分别连结BC和AB,再利用图5的基本图形及结论,再用多边形内角和公式,均可求得6个角度之和都是360.
变式7.图8中连结HE、FC和HC,便可把所求的8个角度之和转化为四边形ABCH的内角和为360.
变式8.图9中连结AG和GD,便可把所求的9个角度之和转化为五边形ABCDG的内角和为540.
???
“五角星”的五个角的度数之和怎么算
